Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
Новинка для обучения
Чтобы приучить себя к усидчивости, закуй себя в кандалы
Родители всех детей на свете не раз и не два задумывались, как приучить своих детей к усидчивости, аккуратности и внимательности при выполнении школьных домашних заданий. Весьма интересный и неординарный способ нашел Emilio Alarc дизайнер из Испании. Study Ball (обучающий мяч) - ножные кандалы с гирей и циферблатом, на котором устанавливается время их отключения. Браслет закрепляется на ноге, устанавливается время, предположительно выбранное на изучения данной темы или дисциплины, нажимается кнопка пуска и все... Далее...

Study Ball

Study Ball

энтропия

ЭНТРОПИЯ (от греч. entropia-поворот, превращение)- понятие, впервые введённое в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. В статистической физике Э. служит мерой вероятности осуществления к--л. макроскопич. состояния, в теории информации-мерой неопределённости к--л. опыта (испытания), к-рый может иметь разл. исходы. Эти трактовки Э. имеют глубокую внутр. связь. Напр., на основе представлений об информационной энтропии можно вывести все равновесные статистич. распределения (см. Гиббса распределения).

Энтропия в термодинамике была введена Р. Клаузиусом (R. Clausius, 1865) на основе второго начала термодинамики, к-рое можно сформулировать математически в виде Клаузиуса неравенства 5126-12.jpg . Интеграл берётся по замкнутому циклич. процессу, при к-ром система получает (или у неё отбирают) малые количества теплоты dQ при соответствующих значениях абс. темп-ры Т. Знак равенства относится к обратимым процессам (р а в е н с т в о К л а у з и у с а). Из равенства Клаузиуса следует, что для обратимого процесса

5126-13.jpg

есть полный дифференциал ф-ции состояния S, называемый Э. (дифференциальное определение Э.). Разность Э. системы в двух произвольных состояниях А и В (заданных, напр., значениями темп-р и объёмов) равна

5126-14.jpg

(интегральное определение Э.). Интегрирование здесь ведётся вдоль пути любого квазистатич. обратимого процесса, связывающего состояния А и В. Т. о., из второго начала термодинамики следует, что существует однозначная ф-ция состояния S, к-рая при обратимых адиабатич. процессах (dQ =0) остаётся постоянной. Из неравенства Клаузиуса вытекает, что при необратимых процессах

5126-15.jpg

поэтому в адиабатически изолированных системах (см. Термодинамическая система)при необратимых процессах Э. может только возрастать (закон возрастания Э.).

Согласно первому началу термодинамики,

5126-16.jpg

т. е. сообщаемое системе кол-во теплоты равно сумме приращения внутренней энергии dU и совершаемой системой элементарной работы, где аi - внеш. параметры состояния, Ai - сопряжённые им внутр. параметры. Когда единственным внеш. параметром является объём системы V, элементарная работа равна pdV, где р-давление. С учётом первого начала термодинамики дифференциальное определение Э. принимает вид

5126-17.jpg

откуда следует, что Э. представляет собой потенциал термодинамический при выборе в качестве независимых переменных внутр. энергии U и внеш. параметров аi . Частные производные Э.

5126-18.jpg

определяют уравнения состояния системы. Уравнение (3) определяет абсолютную температурную шкалу.

Ф-ла (2) определяет Э. лишь с точностью до аддитивной постоянной (т. е. оставляет начало отсчёта Э. произвольным). Абс. значение Э. можно установить с помощью третьего начала термодинамики, согласно к-рому принимается S= 0 при Т=0.

Энтропия в неравновесной термодинамике может быть определена для таких неравновесных состояний, когда можно ввести представление о локальном равновесии термодинамическом в отд. подсистемах (напр., в малых, но мак-роскопич. объёмах). По определению, Э. неравновесной системы равна сумме Э. её частей, находящихся в локальном равновесии. Термодинамика неравновесных процессов позволяет более детально исследовать процесс возрастания Э. и вычислить кол-во Э., образующееся в единице объёма в единицу времени вследствие отклонения от тер-модинамич. равновесия - производство энтропии. Для пространственно неоднородных неравновесных систем второе начало термодинамики может быть записано в виде у р а в н е н и я б а л а н с а д л я п л о т н о с т и

э н т р о п и и S(x, t), где х - радиус-вектор физически бесконечно малого элемента среды:

5126-19.jpg

JS(x, t) - вектор потока Э.; s(x,t)>=0-л о к а л ь н о е п р ои з в о д с т в о э н т р о п и и. Полное производство Э. равно интегралу от s(х, t)по объёму системы. Если т е р м о д ин а м и ч. с и л ы Xi(x, t)(градиенты темп-ры, хим. потенциалов компонентов, массовой скорости и т. д.) создают в системе сопряжённые им потоки Ji (x, t)(теплоты, вещества, импульса и др.), то в такой системе 5126-20.jpg . Если величины Xi , Ji - векторы или тензоры, то в выражении для s подразумевается их полная свёртка. Потоки Ji связаны с термодинамич. силами Xk линейными соотношениями 5126-21.jpg, где Lik- онсагеровские кинетические коэффициенты .Следовательно, локальное производство Э. 5126-22.jpgвыражается квадратичной формой от термодинамич. сил.

Энтропия в равновесной статистической физике зависит от выбора статистич. ансамбля. Для микроканонич. ансамбля Гиббса (см. Гиббса распределения ),описывающего равновесное состояние изолированных систем, Э. выражается через статистический вес состояния W(5126-23.jpg, N, V):

5126-24.jpg

где W(5126-25.jpg, N, V) - число квантовомеханич. состояний, энергия к-рых 5126-26.jpg лежит в узком интервале 5126-27.jpg вблизи значения 5126-28.jpg системы из N частиц в объёме V. В классич. статистич. физике W-величина безразмерного объёма в фазовом пространстве системы при заданных 5126-29.jpg, N, V:

5126-30.jpg

где dГN = dpdq/N!h3N; dpdq - элемент объёма в 6N-мерном фазовом пространстве системы из N частиц (р - обобщённый импульс; q - обобщённая координата). Интегрирование ведётся в пределах 5126-31.jpg - Гамильтона функция системы из N частиц). Для канонич. ансамбля Гиббса, описывающего равновесное состояние систем в термостате, Э. выражается через каноническое распределение Гиббса f(p, q):

5126-32.jpg

Аналогичным образом определяется Э. для систем с переменным числом частиц в термостате через большое каноническое распределение Гиббса fN(p, q):

5126-33.jpg

В квантовой статистике Э. для всех равновесных ансамблей выражается через статистич. оператор (или матрицу плотности) 5126-34.jpg:

5126-35.jpg

Символ Sp5126-36.jpg означает сумму диагональных матричных элементов оператора 5126-37.jpg; суммирование ведётся по волновым ф-циям состояний допустимой симметрии относительно перестановки частиц.

Вдали от областей сосуществования фаз и критич. точек значения Э., вычисленные с помощью разл. ансамблей Гиббса, совпадают с термодинамич. Э. в пределе N5126-38.jpg, V5126-39.jpg при N/V= const (см. Термодинамический предел).

Информационная энтропия. Э. в статистич. физике связана с информационной Э., к-рая служит мерой неопределённости сообщений (сообщения описываются множеством величин х1 х2, ..., хn и вероятностей Р1, Р2, ...,Рn их появления). Для дискретного статистич. распределения вероятностей Pk информационной Э. (с точностью до постоянного множителя) наз. величину

5126-40.jpg

Величина Su = 0, если к--л. из Pk равна 1, а остальные - нулю, т. е. информация достоверна, неопределённость отсутствует. Э. принимает наибольшее значение, когда все Pk одинаковы (неопределённость в информации максимальна). Непрерывной случайной величине х с ф-цией распределения f(x)соответствует информационная Э.

5126-41.jpg

Информационная Э., как и термодинамическая, обладает свойством аддитивности (Э. неск. сообщений равна сумме Э. отд. сообщений). Из вероятностной трактовки Э. в статистич. физике выводятся осн. равновесные распределения: канонич. распределение Гиббса, к-рое соответствует макс. значению информационной Э. при заданной ср. энергии, и большое канонич. распределение Гиббса - при заданных ср. энергии и ср. числе частиц в системе.

Энтропия в неравновесной статистической физике зависит от способа описания неравновесного состояния системы. Напр., неравновесное гидродинамич. состояние од-нокомпонентных газов и жидкостей определяется неоднородными распределениями ср. значений плотностей энергии <5126-42.jpg(x)>t, числа частиц <5126-43.jpg(x)>t и импульса <5126-44.jpg(x)>t, т. е. плотностей интегралов движения. Динамические переменные 5126-45.jpg в классич. случае являются ф-циями координат и импульсов частиц, а в кван. случае-соответствующими операторами. Операция усреднения <...>t выполняется с н е р а в н о в е с н о й ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я f(p, q, t), удовлетворяющей Лиувилля уравнению дf/дt = {H, f}; Н - гамильтониан системы, {Н, f} - Пуассона скобка. В квантовом случае в уравнении Лиувилля надо заменить f на неравновесный статистич. оператор p^(t), а классич. скобку Пуассона - на квантовую.

Э. в неравновесной статистич. физике пропорциональна (S = kSu)максимуму информационной Э. Su=- <ln f>t при заданных ср. значениях динамических переменных, выбранных для описания неравновесного состояния. Напр., если неравновесное состояние характеризуется ср. значениями 5126-46.jpg , то максимуму информац. Э. соответствует л о к а л ь н о-р а в н о в е с н о е р а с п р е д ел е н и е

5126-47.jpg

где 5126-48.jpg -плотность энергии в сопровождающей системе координат, движущейся с массовой скоростью u(x, t). Ф у н к ц и о н а л М а -с ь е - П л а н к а Ф(t) определяется из условия нормировки fl и зависит от b(x, t), b(х, t)m(x, t), u(x,t), где b(x, t) - обратная локальная темп-pa, m(x, t) - локальный хим. потенциал. В этом случае неравновесная Э.

5126-49.jpg

является функционалом

5126-50.jpg

Операция <...>tl означает усреднение по распределению (13), причём

5126-51.jpg

Основная идея неравновесной термодинамики состоит в том, что термодинамич. равенства должны выполняться для элемента среды, движущегося с массовой скоростью. Из (15) следует, что для этого необходимо, чтобы

5126-52.jpg

Равенства (16) являются условиями самосогласованного выбора параметров b(x, t), m(x,t), u(x, t)и определяют их зависимость от неравновесных ср. значений <H^(x)>t ,

5126-53.jpg.

Локально-равновесное распределение служит вспомогательным распределением для определения понятия Э. неравновесного состояния, но не описывает необратимых переноса явлений. Потоки энергии и импульса, вычисленные с помощью fl (t), соответствуют потокам этих величин в идеальной гидродинамике. Неравновесная ф-ция распределения может быть получена как формальное решение ур-ния Лиувилля с нач. условием локального равновесия в нек-рый момент времени t0: f(t; t0) = exp [- iL(t - t0)] fl(t0). Оператор Лиувилля L определяется через скобки Пуассона: iLf= {H, f}. Это решение зависит от нач. состояния, к-рое реальная система должна "забывать" из-за корреляций между элементами среды. Можно считать, что пучок фазовых траекторий с различными t0(-5126-54.jpg<t0<t)реализует ансамбль Гиббса для неравновесных состояний. Предполагая, что нач. состояния распределены с экспоненциальной вероятностью T-1ехр[-(t - t0)/Т] (г и п о т е з а о б а п р и о р н ы х в е р оя т н о с т я х), получим неравновесную ф-цию распределения

5126-55.jpg

Т-1 = e5126-56.jpg+0 после термодинамич. предельного перехода при вычислении средних. Ф-ция распределения (17) удовлетворяет уравнению Лиувилля с малым источником в правой части e5126-58.jpg+0. Кроме того, предполагаются выполненными условия самосогласования (16).

5126-57.jpg


С помощью ф-ции распределения (17) можно усреднить уравнения движения для 5126-59.jpg, 5126-60.jpg и получить теплопроводности уравнение и Навье - Стокса уравнение, в к-рых коэффициенты тепло-проводности и вязкости представлены в виде пространственно-временных корреляционных функций потоков энергии и импульса (Грина-Кубо формулы). Отсюда следует уравнение баланса (5) для плотности Э. и другие соотношения неравновесной термодинамики.

В неравновесной статистич. физике закон возрастания Э. тесно связан со свойством симметрии уравнения Лиувилля относительно обращения времени. Малый член ~e5126-61.jpg+0 в уравнении (18) нарушает эту симметрию, снимая вырождение, т. е. отбирая запаздывающее решение уравнения Лиувилля. Такое решение приводит к s>0 в уравнении (5), т. е. делает возможным возрастание Э. При этом существенно, что e5126-62.jpg+0 после термодинамич. предельного перехода. Другое решение уравнения Лиувилля (c e5126-63.jpg-0) приводит к убыванию Э. и должно быть отброшено как нефизическое.

Э. для других процессов, отличных от гидродинамических, может быть определена с помощью к в а з и р а в н ов е с н о г о с о с т о я н и я, к-рое соответствует максимуму информационной Э. при заданных средних значениях не-к-рого набора динамических переменных, характеризующих неравновесное состояние. В общем случае квазиравновесное состояние может сильно отличаться от локального равновесия.

Понятие Э. используется также в классич. механике как характеристика хаоса динамического в системах с неустойчивостью движения-экспоненциальной расходимостью близких в нач. момент траекторий. Количественной мерой неустойчивости таких систем служит э н т р о п и я К р ыл о в а- К о л м о г о р о в а - С и н а я, или К-э н т р о п и я. Для широкого класса систем K-энтропия выражается через положительные показатели Ляпунова по формуле

5126-64.jpg

Если положительные показатели Ляпунова отсутствуют и, следовательно, движение устойчиво, то K-энтропия равна нулю.

Лит.: Майер Дж., Гепперт-Майер М., Статистическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1980; де Гроот С., Мазур П., Неравновесная термодинамика, пер. с англ., М., 1964; Зубарев Д. Н., Неравновесная статистическая термодинамика, М., 1971; его же, Современные методы статистической теории неравновесных процессов, в кн.: Итоги науки и техники, сер. Современные проблемы математики, т. 15, М., 1980; Исихара А., Статистическая физика, пер. с англ., М., 1973; Ахиезер А. И., Пелет-минский С. В., Методы статистической физики, М., 1977; Гиббс Дж., Термодинамика. Статистическая механика, М., 1982; Леон-тович М. А., Введение в термодинамику. Статистическая физика, М., 1983; Климонтович Ю. Л., Статистическая теория открытых систем, М., 1995. Д. Н. Зубарев, В. Г. Морозов.

  Предметный указатель