цилиндрические функции

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (функции Бесселя)- решения Z_v(z)ур-ния Бесселя

где параметр (индекс) v-произвольное действительное или комплексное число. В приложениях чаще встречается ур-ние, зависящее от четырёх параметров:

решения к-рого выражаются через Ц.ф.: u(z) = z^aZ_v(bz^g). Среди ур-ний (2) содержится ур-ние u'' - zu = 0, к-рое порождает Эйри функции.

Ц. ф. произвольного порядка. Если v не является целым числом, то общее решение ур-ния (1) имеет вид

где c₁ и c₂- постоянные, J_v и J_-v - ф-ции Бесселя 1-го рода (или Ц. ф. 1-го рода, рис. 1, а). Если v - целое, то J_v и J__v линейно зависимы. Поэтому наряду с J_v(z)вводят ф-ции Бесселя 2-го рода (рис. 1, б) Y_v(z)[иногда их наз. N_v(z)]:

Рис. 1. Графики функций J_v и Y_v вещественного аргумента x для некоторых целых значений v.

При помощи этих ф-ций общее решение (1) можно всегда записать в виде

Для приложений важны и др. решения (1) - ф-ции Бесселя 3-го рода, или ф-ции Ханкеля (Ганкеля) 1-го и 2-го рода H_v⁽¹⁾(z)и H_v⁽²⁾(z):

Связь между различным и Ц. ф.:

Разложения в ряды:

при n = 0 первую из сумм следует полагать равной нулю, y - логарифмическая производная гамма-функции, y(1) = G'(1) = -g, постоянная Эйлера g = 0,577215.

Интегральные представления Пуассона для ф-ций Бесселя 1-го рода J_v(z)и ф-ций Ханкеля H_v^(1,2)(z) при Rev >:

Интегральные представления Зоммерфельда:

(контуры C₁, C₊, С_ изображены на рис. 2). При v = n (где n-целое)

Рис. 2. Контуры интегрирования С_b и C₁ (f = c + iy). Числа a и b связаны соотношением b= abp.

Рекуррентные соотношения и ф-л ы дифференцирования:

[Z_v(z) - любая из ф-ций J_v(z), Y_v(z), H_v^(1,2)(z)].

Ц. ф. полуцелого порядка. Ц. ф. превращаются в элементарные тогда и только тогда, когда v принимает полуцелые значения (v = n+ 1/2):

Асимптотическое поведение Ц. ф. Для |z|>>1, |z|>> v имеют место оценки:

Здесь (v, m) = Г(1/2 + v + m)/ [т!Г(1/2+ v - т)] - т.н. символ Ханкеля. Выражение для Н_v⁽²⁾(z)аналогично выражению для H_v⁽¹⁾(z), в к-ром (при - 2p<argz<p) i надо заменить на - i.