стохастические колебания

СТОХАСТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (от греч. stochastikos - умеющий угадывать) - нерегулярные, внешне неотличимые от реализации случайного процесса колебания в полностью детерминированной (без шумов и флуктуации) нелинейной системе.

Сложное поведение нелинейных колебат. систем наблюдалось (1920-е - 50-е гг.) задолго до осознания факта возможности существования стохастичности в таких системах (эксперименты Ван дер Поля и Ван дер Марка [1], двухдисковое динамо [2], распределённая система авторегулирования темп-ры [3]). Кроме того, хотя в то время существовали нек-рые элементы матем. аппарата для описания нетривиального поведения траекторий динамических систем в фазовом пространстве (гомоклинич. структуры Пуанкаре [4]), однако представления о том, что детерминиров. системы могут вести себя хаотически, ещё не проникли ни в физику, ни в математику. Качественное изменение ситуации произошло в 1960-е гг. в связи с открытиями в математике [5-6] и компьютерными исследованиями моделей физ. систем.

С. к., как и истинно шумовые колебания, характеризуются сплошным Фурье спектром и спадающей автокорреляц. ф-цией (см. Хаос ).Отличает их от случайных флуктуации то обстоятельство, что они могут генерироваться динамич. системой с конечным числом степеней свободы (в то время как генерация шума требует от системы возбуждения бесконечного числа независимых степеней свободы). Физ. природа возникновения сложного запутанного поведения конечномерной системы связана с неустойчивостью всех (или большинства) индивидуальных движений. Неустойчивость траекторий, располагающихся в органич. области фазового пространства, и приводит к перемешиванию, следствием к-рого является запутанность, сложность, стохастичность движения. Важными характеристиками этой сложности и запутанности являются фрактальная размерность предельного множества (странного аттрактора) А и топологич. энтропия системы на нём (см. Фракталы).

Выберем на странном аттракторе ансамбль из отрезков траекторий длительности Т, отстоящих друг от друга на расстояние. Предположим, что любой отрезок длительности Т произвольной траектории в аттракторе лежит в-окрестности хотя бы одного из отрезков. Обозначим через Счисло отрезков (элементов) в ансамбле. При уменьшении или увеличении Т число Сувеличивается. Рост Спри убывании естественно связан с геом. сложностью аттрактора. Увеличение же Спри возрастании Т есть следствие неустойчивости траекторий в аттракторе. Рассмотрим следующие характеристики движения на аттракторе;

Величину h наз. топологич. энтропией, с - фрактальной размерностью аттрактора. Сигналу (реализации, наблюдаемой), с к-рым имеет дело исследователь, в эффективном фазовом пространстве (возможно, бесконечномерном) исследуемой системы отвечает предельное множество соответствующих траекторий. Его размерность естественно называть размерностью реализации, а топологич. энтропию системы, рассматриваемой лишь на этом предельном множестве, можно назвать топологич. энтропией реализации. Существуют алгоритмы определения этих величин, к-рые позволяют вычислить их для сигналов, генерируемых реальными процессами [7] (течение жидкости, энцефалограммы и пр.). Конечность этих величин свидетельствует о динамич. характере исследуемого процесса, а сами они характеризуют «степень стохастичности» системы.

Стохастичность гамильтоновых систем. Стохастич. свойства демонстрируют даже очень простые гамильтоновы системы, напр. маятник под действием внеш. иериодич. силы:

Фазовое пространство этой системы трёхмерно и очевидно, что нач. фазовый объём сохраняется. Если в такой системе (в определ. области параметров) рассмотреть каплю «фазовой жидкости» в пространстве {(х, х,)}, то можно обнаружить, что через нек-рое время она, сложным образом деформируясь, заполнит определ. область в фазовом пространстве, к-рая и будет соответствовать стохастич. движениям (рис. 1).

Рис. 1.

Однако наряду с этой областью перемешивания (или областью стохастичности) в фазовом пространстве (1) всегда будут существовать нач. условия, к-рым отвечает регулярное периодическое или квазипериодическое поведение. Особенно наглядно это видно на секущей плоскости (на рис. 2 показаны следы фазовых траекторий- траектории отображения Пуанкаре). Регулярным движениям отвечают двумерные торы, на к-рых лежат траектории, соответствующие условно периодич. движениям (на рис. 2 - это замкнутые кривые). В области хаоса эти торы разрушены. Очевидно, в трёхмерном фазовом пространстве (и в четырёхмерном на трёхмерной поверхности пост. энергии) области хаотического и регулярного поведения разделены. Такие системы наз. системами с разделённым фазовым пространством [8]. Если фазовое пространство имеет размерность больше четырёх, то геом. запретов, гарантирующих разделение хаотических и регулярных движений, уже не существует и области стохастич. поведения в разных частях фазового пространства могут соединяться друг с другом отрезками одной и той же траектории. Обычно это происходит вдоль сепаратрис (стохастич. диффузия, или диффузия Арнольда [8]).

Возникновение стохастичности в гамильтоновых системах типа (1) определяется значением амплитуды внеш. силы, что имеет простой физ. смысл. При достаточно больших амплитудах появляется большое число гармоник осн. частоты колебаний, на каждой из к-рых возможен нелинейный резонанс; при дальнейшем увеличении амплитуды области резонанса в фазовом пространстве, соответствующие этим движениям, перекрываются (т. н. перекрытие резонансов Чирикова). Обнаружение стохастич. поведения гамильтоновых систем, обладающего не только эргодичностью ,но и более сильными статистич. свойствами (перемешиванием, спадением автокорреляц. ф-ции и т. п.), позволяет построить динамич. модели, на основе к-рых могут быть получены осн. законы статистич. механики без предварит. гипотез. Это - модели типа бильярда Синая [9], газа Лоренца [10] и пр.

Рис. 2.

Стохастические автоколебания. В системах с диссипацией, напр. в системе

фазовый объём не сохраняется - он сжимается, поэтому можно было бы ожидать, что движение системы может лишь упроститься. Однако стохастич. поведение в таких системах сохраняется; лишь незначительно (в зависимости от величины k)уменьшается размерность стохастич. множества, к-рое в данном случае является странным аттрактором. Стохастич. автоколебания реализуются не только в простой модели (2) неавтономного осциллятора, но и практически в любой нелинейной колебательной диссипативной системе с периодич. силой, если её амплитуда не слишком мала, даже если потенциал осциллятора имеет лишь один минимум (в фазовом пространстве невозмущённой системы одно положение равновесия), как в системе, описываемой ур-нием

(нелинейный резонанс с учётом затухания). Существование стохастич. автоколебаний в системе

описывающей (с учётом нелинейной реактивности), в частности, синхронизацию колебаний, означает, кроме прочего, и то, что при переходе в области параметров через границу режима захватывания могут возникнуть не только биения, но и сложные колебания, ничем не отличимые от случайных. На рис. 3 приведены аттракторы систем, описываемых ур-ниями (3) и (4) при соответствующих значениях параметров.

Движения на странном аттракторе - установившиеся стохастич. автоколебания. Подобно периодич. автоколебаниям, матем. образом к-рых является предельный цикл, осн. характеристики установившихся движений (спектр колебаний, размерность, энтропия и др.) на странном аттракторе не зависят от нач. условий. Нач. условия сказываются лишь на характере переходного процесса. Несмотря на то, что странный аттрактор состоит из неустойчивых траекторий, т. е. движение рядом с каждой из них происходит лишь конечное время, однако переходы с одной неустойчивой траектории на другую происходят таким образом, что движение системы осуществляется вдоль траектории, тоже принадлежащей странному аттрактору [11].

В многомерных системах размерность странных аттракторов может быть много меньше размерности фазового пространства, что соответствует частичной синхронизации степеней свободы системы.

Пути возникновения стохастических колебаний [12, 13]. Последовательности бифуркаций (сценарии, пути), приводящие к возникновению С. к. при изменении параметров системы, могут быть бесконечно разнообразны, однако элементарных бифуркаций или их последовательностей, содержащихся в этих сценариях, не так много.

Рассмотрим вначале режимы «мягкого» возникновения стохастич. автоколебаний. Осн. бифуркации в этом случае представлены на рис. 4. Это - рождение тора из предельного цикла при потере им устойчивости, бифуркация удвоения периода, слияние устойчивого и седлового циклов и их исчезновение, сопровождающееся возникновением странного аттрактора, сложные деформации («гофрирование») тора и его разрушение, сопровождающееся возникновением большого числа гармоник и субгармоник в спектре колебаний. Для «жёсткого» режима возникновения С. к. характерно превращение непритягивающих гомоклинич. структур в фазовом пространстве, образовавшихся в результате потери устойчивости простыми аттракторами, в странный аттрактор.

Рис. 3.

Рис. 4.

Стохастические колебания в распределённых системах [14] - неупорядоченное поведение не только во времени, но и в пространстве. Степень неупорядоченности этих движений связана с числом независимых степеней свободы, формирующих это движение.

Пример подобного неупорядоченного движения распределённой гамильтоновой системы - стохастич. движение солитона ,описываемое нелинейным Шрёдингера уравнением с гармонич. потенциалом:

Для «медленных» переменных, определяющих координаты центра солитона, в одномерной ситуации получается ур-ние движения, совпадающее с (1). Т. о., один из механизмов стохастизации волнового поля связан с формированием локализов. образования (солитона) и его хаотич. блуждания в физ. пространстве, подобного нерегулярному движению изображающей точки в фазовом пространстве нелинейного осциллятора (1).

В диссинативных распределённых системах незатухающие С. к. возможны лишь при наличии источника энергии (потоки массы или тепла в гидродинамич. течениях, накачка в лазерах, пост. или периодич. магн. поле при возбуждении спиновых волн и т. д.). Установившиеся стохастич. пульсации в распределённой диссипативной системе, к-рым соответствуют конечномерные аттракторы, есть стохастич. автоколебания. При не слишком больших числах Рейнольдса черты гидродинамич. турбулентности описываются движениями на конечномерном странном аттракторе, размерность к-рого обычно растёт с ростом числа Рейнольдса.

Лит.: l)Van der Pol В., Van der MarkJ., Frequency demultiplication, «Nature», 1927, v. 120, p. 363; 2) R i k i t a k e Т., Oscillations of a system of disc dynamics, «Proc. Camb. Philos. Soc.», 1958, v. 54, № 1, p. 89; 3) Алексеев А. С., Двухпо:шционный регулятор температуры с зоной опережения, в сб.: Памяти А. А. Андронова, М., 1955; 4) П у а н к а р е А.. Избр. труды, т. 2, М., 1972; 5) А н о с о в Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, «Тр. Мат. ин-та АН СССР», 1967, т. 90; 6) Синай Я. Г., Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы, «Функциональный анализ и его приложения», 1968, т. 2, в. 1, с. 64; 7) Р а б и н о в и ч М. И., Сущик М. М., Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости, «УФН», 1990, т. 160, с. 3; 8) Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая динамика, пер. с англ., М., 1984; 9) Б у н и м о в и ч Л. А. и др., Эргодическая теория гладких динамических систем, в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 2, М., 1985; 10) С и н а й Я. Г., Ч е р н о в Н. И., Энтропия газа твердых сфер по отношению к группе пространственно-временных сдвигов, в сб.: Труды семинара им. И. Г. Петровского, в. 8, М., 1982, с. 218; 11) А л е к с е е в В. М., Якобсон М. В., Добавление. Символическая динамика и гиперболические динамические системы, в кн.: Б о у э н Р., Методы символической динамики, пер. с англ., М., 1979; 12) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984; 13) Ш у с т е р Г., Детерминированный хаос, пер. с англ., М., 1988; 14) Рабинович М. И., Стохастические автоколебания и турбулентность, «УФН», 1978, т. 125, с. 123. В. С. Афраимович, М. И. Рабинович.

   <<      Предметный указатель      >>