скалярное произведение

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ - отображение, сопоставляющее каждой паре е₁, е₂ векторов к--л. векторного пространства L нек-рое число (e₁, е₂), причём выполняются след. условия: а) (* означает комплексное сопряжение); б) (e,e) = 0 лишь при е = 0. Из этих аксиом следуют неравенство Коши - Буняковского - Шварца

и антилинейность С. п. по первому аргументу, т. е.

С.п. порождает в L н о р м у, т. е. операцию, сопоставляющую каждому вектору е вещественное неотрицательное число, к-рое служит обобщением понятия длины вектора е, . Т. о., пространство L оказывается нормированным. Норма задаёт топологию пространства L, т. е. определяет в нём понятие близости: последовательность е₁, е₂, ..., е_п, ... векторов считается сходящейся к вектору «, если -при. Пространство L наз. полным, если любая последовательность векторов е₁, ..., е_п... (такая, что при га,) имеет предел е, являющийся вектором того же L. Если (e₁, e₂)= 0, то векторы e₁ и е₂ наз. ортогональными. Если , то вектор наз. нормированным. Совокупность e₁, е₂, ...,е_п наз. ортонормированной системой векторов, если она состоит из нормированных, попарно ортогональных векторов.

Конечномерное пространство L, снабжённое С. п., наз. евклидовым пространством. Если L является бесконечномерным и полным, то оно наз. гильбертовым пространством. С. п. (е₁, е), где вектор e₁ фиксирован, а вектор е рассматривается как переменная, определяет числовую ф-цию f(e) - (e₁, е)на гильбертовом пространстве. Эта ф-ция линейно зависит от е иобладает свойством непрерывности [если , то], её называют линейным функционалом.

В гильбертовом пространстве всякий линейный функционал i(e)порождается С. п., т. е. всегда найдётся такой вектор e₁, что f(e) = (e₁, е).

Лит.: Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; Кострикин А. П., М а н и н Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, 2 изд., М., 1986. О. И. Завьялов.

   <<      Предметный указатель      >>