симплектическая группа

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА (от лат. simplex - простой) - группа линейных преобразований конечномерного векторного пространства (вещественного или комплексного), сохраняющих кососкалярное п р о и з в е д е н и е, т. е. невырожденную кососимметричную (в физ. приложениях чаще употребляется термин «антисимметричная») билинейную форму. Пространство, снабжённое кососкалярным произведением, наз. с и м п л е к т и ч е с к и м. Роль С. г. в симплектич. пространстве аналогична роли ортогональной группы в евклидовом пространстве.

Примеры. 1) Кососкалярное произведение на плоскости с координатами р, q - это форма площади . Паре векторов она сопоставляет ориентированную площадь натянутого на них параллелограмма и меняет знак при перестановке векторов. Напр., кососкалярное произведение пары векторов с декартовыми координатами и₁, u₂ и w₁, w₂ можно записать в виде: . С. г. плоскости изоморфна группе 2x2 - матриц с определителем 1.

2) Прямая сумма га симплектич. плоскостей несёт кососкалярное произведение , относящее паре векторов сумму площадей проекций на координатные плоскости натянутого на эти векторы параллелограмма. С. г. содержится в группе линейных преобразований, сохраняющих объём

3) Мнимая часть невырожденной эрмитовой формы в n-мерном комплексном пространстве, рассматриваемом как 2n-мерное вещественное, является кососкалярным произведением. В координатах эрмитова форма имеет мнимую часть -. С. г. содержит унитарную группу - группу комплексных линейных преобразований, сохраняющих эту эрмитову форму. Унитарная группа - максимальная компактная подгруппа в С. г.

Изучение симплектич. пространства упрощается благодаря теореме Дарбу - Фробениуса, согласно к-рой симплектич. пространство чётномерно, а два таких пространства одной размерности симплектически изоморфны.

Косоортогональность. Два вектора наз. косоортогональными, если их кососкалярное произведение - нуль. Вектор, косоортогональный всему пространству,- нулевой. В этом состоит определение невырожденности кососкалярного произведения. Каждый вектор себе косоортогонален (следствие кососимметричности). Косоортогональное дополнение прямой - гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, Косоортогональное дополнение гиперплоскости - прямая в ней. Вообще Косоортогональное дополнение подпространства имеет дополнит. размерность. Два подпространства одинаковой размерности переводятся друг в друга преобразованием из С. г., если и только если совпадают размерности их пересечений со своими косоортогональными дополнениями. В частности, любая прямая (гиперплоскость) переводится в любую другую. Т. о., геометрия симплектич. пространства во многом определяется структурой С. г.

С. г. 2n-мерного симплектич. пространства - это простая связная группа Ли, обозначаемая [в комплексном случае ]. Её размерность (2n + 1)n. Ли алгебра этой группы изоморфна алгебре Ли однородных многочленов степени 2 от переменных (p₁, ..., р_п, q₁, ..., q_n)с Пуассона скобкой в качестве коммутатора:

По этой причине изучение С. г. равносильно до нек-рой степени изучению линейных гамильтоновых систем дифференциальных ур-ний. А. Б. Гивенталь.

   <<      Предметный указатель      >>