относительности теория

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ

Содержание:

Введение
Группа Пуанкаре
Группа Лоренца
Аберрация света и видимая форма предметов в частной О. т.
Пространство скоростей
Векторы и тензоры в пространстве Минковского 498 Спинорные представления группы Лоренца
Структура пространства Мнаковского
Релятивистская механика
Экспериментальные основания частной О. т.

О. т. - теория, описывающая универс. пространственно-временные свойства физ. процессов. Поскольку эти свойства справедливы для всех известных в физике процессов и взаимодействий, об О. т. говорят просто как о физ. теории пространства-времени.

Введение

Возникновение О. т. связано с неудачен обнаружить движение Земли относительно эфира .X. А. Лоренц (Н. A. Lorentz) и А. Пуанкаре (Н. Poincare) в 1904 - 05 смогли объяснить невозможность обнаружения этого движения, оставаясь в рамках представления о выделенности системы координат, в к-рой эфир покоится. Совр. точка зрения, основанная на принципе относительности Эйнштейна, была сформулирована А. Эйнштейном (A. Einstein) в 1905; при этом было исключено понятие механич. эфира. Большой вклад в развитие матем. аппарата теории внёс в 1908 - 10 Г. Минковский (Н. Minkowski), к-рому принадлежит и интерпретация О. т. как геометрии четырёхмерного пространства-времени [1 - 4].
После появления теории тяготения Эйнштейна, построение к-рой было начато Эйнштейном в 1907 и завершено X. Д. Гильбертом (Н. О. Hilbert) и Эйнштейном в 1915 (первое обобщающее изложение теории было дано Эйнштейном в 1916), и её эксперим. подтверждения стало ясно, что свойства пространства-времени в данной области зависят от действующих в ней гравитац. полей (см. Тяготение ).В О. т. рассматривается частный случай - свойства пространства-времени в областях, где полями тяготения можно с желаемой точностью пренебречь; отсюда термин - частная, или специальная, О. т. (последний термин возник в результате неудачного букв. перевода нем. слова speziell - частный). Осн. понятие О. т. - событие, под к-рым понимается нечто происходящее в данный момент времени в данной точке пространства (напр., вспышка света или совпадение стрелки прибора с делением шкалы). Реальные события имеют конечную протяжённость в пространстве и времени, поэтому понятие события в О. т. является идеализацией. Опыт показывает, что применимость этой идеализации очень высока, вплоть до расстояний ~10^-16 см и времён ~10^-26с.
Предполагается, что потенц. совокупность событий образует четырёхмерный континуум. Каждое событие может быть охарактеризовано тройкой действит. чисел, определяющей его пространств. положение, и ещё одним действит. числом, определяющим момент времени, в к-рый это событие происходит. Предполагается, что пространство-время непрерывно, т. е. любой такой четвёрке чисел в нек-рой области числового пространства может быть поставлено в соответствие нек-рое событие и близким событиям отвечают близкие четвёрки чисел.
Области пространства-времени, где справедлива частная О. т., характеризуются тем, что в них могут быть введены локально инерциальные системы отсчёта (и. с. о.), в к-рых свободные от внеш. воздействий точечные тела и импульсы света движутся прямолинейно и равномерно. В реальной Вселенной гравитац. поля глобально не устранимы и присутствуют всюду. При наличии таких полей условия, требуемые для введения и. с. о., не выполняются, в частности ни точечные тела, ни импульсы света не движутся прямолинейно. Однако в тех областях, где эти поля однородны, можно, в силу эквивалентности принципа ,ввести падающие свободно и без вращения системы отсчёта, в к-рых эти поля исчезают. Такие системы отсчёта и являются инерциальными. Любая система отсчёта, движущаяся равномерно и без вращения относительно данной и. с. о., также является инерциальной. В и. с. о. справедлива евклидова геометрия для пространства. Утверждение о равномерности движения предполагает определённый выбор синхронизации часов в разных точках и. с. о. (см. ниже).
Пример и. с. о. - система отсчёта, связанная с искусств. спутником Земли, стабилизированным относительно вращения с помощью гироскопа. В такой системе отсчёта не действуют ни гравитац. поле Земли, ни поля Солнца и Галактики в той степени, в какой эти поля однородны в масштабе спутника. Если рассматривать систему отсчёта, связанную с Землёй, то она уже не будет инерциальной как из-за вращения Земли, так и из-за появления в ней собств. гравитац. поля Земли. Однако на расстояниях, больших по сравнению с размерами области, где гравитац. поле Земли велико, но малых по сравнению с расстоянием до Солнца, систему отсчёта, связанную с Землёй, можно считать инерциальной, т. к. Земля свободно падает в гравитац. поле Солнца.
Практически вопрос о том, можно ли данную систему отсчёта считать инерциальной, зависит от характера производимого опыта и требуемой точности. Так, при выполнении большинства оптич. опытов система, связанная с Землёй, может считаться инерциальной даже на поверхности Земли; то же относится к экспериментам в физике элементарных частиц. С др. стороны, камень, брошенный вблизи Земли, не движется прямолинейно и равномерно, и для него эта система отсчёта не инерциальна. Характерным параметром, определяющим возможность введения и. с. о., является отношение где - изменение гравитац. потенциала в рассматриваемой области. Напр., при измерении Доплера эффекта в области измерения должно быть мало по сравнению с величиной v/c, где v - скорость источника, с - скорость света.
В области, где справедлива частная О. т., можно ввести и неиперц. системы отсчёта, в к-рых свойства пространства-времени нужно описывать с помощью аппарата общей теории относительности. В этом случае условие применимости частной О. т. имеет вид = 0, где - тензор Римана (кривизны тензор ),или более точно, где l₁, l₂ - характерные для данного опыта длины. При условии = 0 всегда можно ввести совокупность и. с. о. Если условие при линейном законе изменения характеризует неинерциальность, к-рая может быть устранена переходом в др. систему отсчёта, то мера отклонения от нуля определяет, насколько пространство-время в данной области искривлено неустранимым образом.
Обычно под частной О. т. подразумевают описание явлений с помощью и. с. о. После того как и. с. о. выбрана, необходимо задать метод определения в ней времён и координат событий. Т. к. в инерц. системах в частной О. т. справедлива евклидова геометрия, то для определения координат событий можно пользоваться декартовыми координатами х¹, х², х³, или х, у, z, где х, у, z измеряются стандартным жёстким масштабом в ортогональной декартовой системе координат. Три координаты х, у, z объединяются в трёхмерный вектор r (или х). Время t в данной точке r измеряют любым механизмом, совершающим периодич. движение, т. е. периодически возвращающимся в данную конфигурацию. Тогда число периодов и есть время t. Предполагается, что часы во всех точках пространства и во всех и. с. о. одинаковы. В совр. метрологии осн. единицы для измерения длины и времени выбираются с помощью оптич. явлений (число световых волн стандартного излучателя и число атомных колебаний стандартного атома для заданных переходов).
Для полного задания системы отсчёта необходимо определить метод сравнения времён событий, происходящих в разных местах. Опыт показывает, что в и. с. о. пространство изотропно; никаким опытом нельзя выделить физически предпочтительное направление. Естественно выбрать такую синхронизацию часов, находящихся в разных точках A, В, чтобы не нарушалась эта изотропия. Стандартное определение в частной О. т. таково. Пусть в момент t₁ из точки А в точку В посылается сигнал (световой импульс, акустич. импульс в среде, находящейся в данной и. с. о., выстрел и т. д.). После прибытия сигнала в В идентичный сигнал посылается из В в А, где принимается в момент времени t₂. Тогда, по определению, время прибытия сигнала в В есть t = (t_l + t₂)/2; иначе говоря, предполагается, что времена распространения сигнала из А в В и из В в А одинаковы. Два события считаются одновременными (синхронными) в данной и. с. о., если времена t для них совпадают. Приведённые определения задают в данной и. с. о. L пространственно-временную координату х, у, z, t. Хотя в действительности область, охватываемая данной и. с. о. L, конечна, удобно допустить идеализиров. ситуацию и предполагать, что все перечисл. переменные меняются от - до +.
Теоретически можно допустить Вселенную, в к-рой массы и поля тяготения занимают малую область, а в осп. пространстве действует частная О. т., однако в реальной Вселенной эта возможность не реализована.

Группа Пуанкаре

В области применимости частной О. т. пространство-время обладает высокой степенью симметрии: все физ. явления инвариантны относительно собств. преобразований Пуанкаре, оставляющих инвариантной метрику пространства-времени Минковского. Последняя определяется квадратом интервала s², к-рый для двух событий с координатами х₁, y_l, z_l, t₁ и х₂, y₂, z₂, t₂ имеет вид:

s² = c²(t₁ - t₂)² - (x₁ - x₂)² - (y₁ - y₂)² - (z₁ - s₂)². (1)

Пространство-время с такой метрикой наз. Минковского пространством-временем.
Обычно используется сокращённая запись: вводятся четырёхмерный вектор х с компонентами = 0, 1, 2, 3): x⁰ = ct, х¹ = х, x² = y, x³ = z, метрический тензор к-рый диагоналей и имеет компоненты [или = diag (1, - 1, - 1, - 1)], и эйнштейновское правило суммирования, согласно к-рому по совпадающим верхнему и нижнему индексам всегда предполагается суммирование (по греч. индексам суммирование проводится от 0 до 3). В такой записи

Если рассматриваются преобразования Пуанкаре, при к-рых любое событие А с координатами x, y, z, t переходит в событие В с координатами то такие преобразования наз. активными.
Собств. преобразования Пуанкаре определяются как линейные преобразования вида

непрерывно связанные с тождественным (единичным) преобразованием. Здесь - матрица размерности 4 x 4, - произвольный 4-вектор. Из инвариантности s² относительно преобразований (3) следует

и Из условия непрерывной связи с единичным преобразованием = где - Кронекера символ= diag (1, 1, 1, 1)], следует, что

Инвариантность законов физики относительно преобразований Пуанкаре означает, что если возможна последовательность событий Е: ..., ..., где - 4-координаты n-го события, то возможна и последовательность..., ..., где и связаны преобразованием (3). Др. словами, законы физики таковы: если последовательность Е допустима и описывает нек-рый физ. процесс, то это же справедливо и для последовательности Подчеркнём, что координаты иизмеряются в одной и той же системе отсчёта; последовательности Е и - это две разные последовательности событий, связанные активными преобразованиями, но в то же время по своей внутр. структуре они неразличимы. Это, в частности, означает, что если два события Е_п, Е_k совпадают, то совпадают и событияСитуация аналогична ситуации в геометрии Евклида, где группа активных преобразований пространства переводит тело из одного положения в другое, не изменяя его внутр. структуры.
Подвергнем теперь преобразованию Пуанкаре саму систему L, к-рая перейдёт в систему L' с такими же, как в L, часами и масштабами. Т. к. измерение есть нек-рое событие, соответствующее фиксации совпадений отсчёта часов и делений на линейках с нек-рым событием в L, то условие сохранения совпадений означает, что 4-координаты события в L' и 4-координаты события Е_i в L совпадают:
Если ввести преобразование, связывающее координаты события в L' и координаты того же события в L - (такие преобразования наз. пассивными), то оно будет иметь вид

где свойства и такие же, как и для активного преобразования.
Преобразования Пуанкаре (Р)образуют группу. Как известно, условия того, что нек-рая совокупность элементов образует группу, следующие, а) Для любых двух элементов Р₁ и Р₂ определено произведение P₁P₂. В случае преобразований Пуанкаре (активных) произведение определяется как результат последоват. выполнения преобразования Р₂ и затем Р₁. Из условия = 1 следует разрешимость (3) относительно б) Операция умножения ассоциативна: Р₁(Р₂Р₃) = (Р₁Р₂)Р₃. Для преобразований Пуанкаре ассоциативность очевидна, т. к. если Р₃ переводит объект А в B, Р₂ - В в С и P₁ - С в D, то, по определению, (Р₂Р₃) переводит А в С и Р₁ - С в D; соответственно Р₁(Р₂Р₃) - А в D. Аналогично (Р₁Р₂) - В в D и (Р₁Р₂)Р₃ также переводит А в D. в) Существует единица группы I такая, что IP=PI=Р. Это выполняется, если , = 0. г) Для любого Р существует обратное преобразование Р^-1 такое, что РР^-1 = Р^-1Р = I. Последнее очевидно, т. к. вследствие того, что = 1, соотношение (3) может быть разрешено относительно
Группа Пуанкаре содержит в качестве подгруппы группу сдвигов во времени и в пространстве. Физически это означает, что в любой и. с. о. опыт, проведённый в др. время или в др. месте, даёт тот же результат (если установка изолирована от внеш. воздействий). Из группы Пуанкаре можно выделить подгруппу трёхмерных вращений и сдвигов:

где лат. буквами (i, k = 1,2, 3) обозначены пространств. индексы. Инвариантность относительно преобразований (7) означает, что в любой и. с. о. пространство однородно и изотропно.
Преобразования (3) содержат также преобразования, наз. бустами. При таких преобразованиях покоящаяся в L точка (х' = const) переходит в точку, движущуюся со скоростью v, а точка, движущаяся в L со скоростью v', переходит в точку, движущуюся со скоростью v", соответствующей релятивистскому закону сложения скоростей (см. ниже). В отличие от подгруппы (7), бусты подгруппы не образуют. Группа Пуанкаре содержит 10 независимых параметров. Коэф. или с учётом условия (4) содержит шесть независимых параметров, а четыре сдвига произвольны.
Инвариантность s² относительно преобразований группы Пуанкаре означает, в частности, инвариантность ур-ния s² = 0. В свою очередь это означает инвариантность скорости света относительно всех преобразований, перечисленных выше (в действительности, согласно частной О. т., со скоростью света движется любая безмассовая частица). В частности, скорость света не изменяется при движении источника. (Событием Е может служить испускание света движущимся источником.) Этот факт является одной из основных черт О. т.
Возможность реализации в L и L' последовательностей событий с одинаковыми координатами относительно этих и. с. о. наз. принципом относительности Эйнштейна. Он означает, что законы природы должны иметь одинаковый вид во всех и. с. о. Для наблюдателей в L и L' соответственно процессы Е и выглядят совершенно одинаково, это наиб. наглядно отражает утверждение о тождественности их внутр. структуры. Если не требовать выполнения условия непрерывного перехода от матриц к единичной I, то наряду с перечисленными выше преобразованиями, приводящими к принципу относительности Эйнштейна, появятся также дискретные, или несобственные, преобразования t - t (обращение времени)и r - r (пространственная инверсия ).Инвариантность относительно этих преобразований в природе нарушается слабым взаимодействием. Не соединяется непрерывно с I также преобразование Инвариантность относительно такого преобразования имеет место, если дополнить его заменой всех частиц на античастицы .Это является общим следствием квантовой теории поля (теорема-СРТ).

Группа Лоренца

Группой Лоренца (в математике её наз. собственной группой Лоренца) наз. подгруппа группы Пуанкаре, образуемая преобразованиями (в случае пассивных преобразований) вида

по-прежнему сохраняющая s² и с матрицей непрерывно связанной с единичной матрицей I. Т. к. пространство Минковского, образуемое точками однородно, то выделение начала координат в (8) не является ограничением. Общий случай выбора преобразования (8) соответствует переходу к системе отсчёта, движущейся с пост. скоростью v и с осями, повёрнутыми произвольным образом. Очевидно, что он может быть сведён к след. последовательности преобразований: 1) такому повороту исходной системы осей, чтобы ось х¹ = х совпадала с направлением v; 2) переходу к системе отсчёта с осями х'. y', z', параллельными осям x, у, z системы L, движущейся со скоростью v; 3) произвольному повороту осей x, y, z. Число параметров преобразования равно при этом 6; это совпадает с тем, что матрица удовлетворяет условию матрица 4 x 4, det= 1). Преобразования к параллельным осям, движущимся с произвольной скоростью о, являющиеся пассивным аналогом бустов, не образуют подгруппы Лоренца, но преобразования относительно фиксиров. направления движения образуют. Выберем в качестве направления движения ось x¹. В этом случае координаты х², x³ не преобразуются: (x²)' = x², (x³)' = х³. Выберем в (1) в качестве точки 1 начало координат. Тогда условие инвариантности интервала будет иметь вид

s² = (x⁰)² - (x¹)² - (x²)² - (x^З)² = (s')²

и s² инвариантен относительно (8). В случае движения по оси х¹ условие инвариантности сводится к требованию инвариантности выражения (х⁰)² - (х¹)² с очевидным решением:

где= v/c, и соответственно обратным преобразованием:

Множитель имеет стандартное обозначение (1). С точки зрения инвариантности s², может быть произвольным параметром, -1 < b < 1. При = 1 возникает сингулярность, а затем преобразование становится мнимым, что является одним из выражений недопустимости в частной О. т. скоростей, больших скорости света.
Полагая в (10) (х¹)' = 0 (начало координат), имеем х¹ - (v/c)x⁰ = 0, т. е. (т. к. х⁰ = ct) v есть скорость движения L' относительно L.

Из ф-л (9) и (10) вытекают два осн. классич. следствия частной О. т. При измерении в L длины стержня l, покоящегося в L', естественно считать его длиной в L разность координат концов, измеренных в одно и то же время в L. Тогда (пользуясь обозначениями х, у, z для координат) имеем для точек А, В стержня

или

где (по определению) - длина покоящегося в L стержня, наз. его собственной длиной. Т. о., движущийся вдоль своей длины отрезок сокращается враз; это сокращение наз. сокращением Лоренца - Фитцджеральда. Соответственно во столько же раз сокращаются все продольные (вдоль движения) размеры движущегося тела. Подчеркнём, что речь идёт именно об определённой процедуре измерений и вопрос о видимой форме тела в частной О. т. нуждается в отд. рассмотрении. Для равномерных прямолинейных движений эффект сокращения относителен; наблюдатель в L' измерит при аналогичной ситуации сокращение масштаба в L. Однако это несправедливо для непрямолинейного движения. Представим себе очень большое число стержней, уложенных кольцом внутри обода длины Тогда при l₀ R. число стержней, к-рые могут быть уложены по ободу, равно Если же стержни быстро скользят вдоль обода, то сокращение Лоренца - Фитцджеральда приведёт к тому, что окажется возможным уложить стержней. Т. о., сокращение Лоренца - Фитцджеральда есть нек-рое объективное свойство геометрии пространства-времени Минковского (т. е. свойство пространства, описываемое группой Пуанкаре).
Рассматривая часы, помещённые в L' в начале координат, получаем

т. е. движущиеся часы с точки зрения наблюдателя в L отстают. Так же как и для длин, эффект симметричен: для наблюдателя в L' отстают часы в L. Симметрия связана с характером постановки опыта; одни движущиеся часы сравниваются с покоящейся синхронизиров. цепочкой часов в др. системе отсчёта. В случае, если часы движутся по замкнутой траектории, эффект становится абсолютным. Если часы движутся в течение времени Т из А в В, а потом обратно из В в А с той же скоростью, то с той точностью, с к-рой можно пренебречь временем поворота и действием ускорения (а это всегда возможно, если Т достаточно велико по сравнению с временем поворота), по часам наблюдателя в А пройдёт 2Т единиц времени, а по двигавшимся часам Этот эффект, часто называемый парадоксом близнецов, абсолютен. В действительности никакого парадокса нет, поскольку система отсчёта, связанная с часами, перестаёт быть инерциальной во время поворота.
Из инвариантности интервала следует, что в общем случае движущиеся часы, проходящие за время dt расстояние dl, покажут величину интервала поскольку в сопровождающей их системе отсчёта они покоятся. Отсюда следует

где dl - пройденный отрезок, или

Соответственно время, измеренное часами, движущимися по нек-рой траектории АВ, равно след. интегралу по траектории, по к-рой движутся часы В:

Этот же результат ложно записать в виде

где интеграл берётся по траектории часов. Из (15) видно, что движущиеся часы всегда отстают от неподвижных. Так же как и в рассмотренном выше частном случае, справедливость (15) требует, чтобы ускорения были достаточно малы и не оказывали действия на ход часов. Из (9) следует закон сложения скоростей. Для частного случая, когда тело движется в L' параллельно оси х со скоростью V', имеем для скорости тела в L

где v - скорость L' относительно L. Если рассматривать ф-лу (16) как активное преобразование, то она описывает буст точки, имевшей первоначально скорость V'. Из этой ф-лы сразу видна независимость скорости света от движения источника: при V' = с получаем V = с. Из неё также следует ф-ла Френеля частичного увлечения света источником. Если свет распространяется в среде с показателем преломления п, движущейся со скоростью v, то V' = с/п и для скорости света в лаб. системе L имеем

Аберрация света и видимая форма предметов в частной О. т.

Пусть система L' (с осями, параллельными осям системы L) движется параллельно оси х системы L со скоростью v и пусть в L' движется импульс света под углом к оси х'. Без ограничения общности можно считать, что импульс движется в плоскости х-у' и в момент t' = 0 находится в точке х = у' = 0. Из преобразований Лоренца получаем Моменту времени t' соответствует в L время

и за это время импульс в L пройдёт путь l = ct. Отсюда для угла луча (соответствующего рассматриваемому импульсу света) с осью х и L получаем

Т. о., движущийся наблюдатель видит объект в др. направлении, чем неподвижный наблюдатель.
Если объект наблюдается под малым телесным углом, то изображение предмета, видимое движущимся наблюдателем, сохраняет свою форму, но оказывается повёрнутым; если наблюдатель в L видит покоящийся в L' предмет под углом то изображение, к-рое он получит на мгновенной фотографии, будет соответствовать изображению в L' на снимке под углом (в L' изображение, очевидно, не зависит от момента снимка). Действительно, пусть импульсы света 1' и 2' в L' дают изображение в L' в момент t'. Пусть S₁ и S₂ - их положения в момент t в L. В системе L' им соответствует разное время и Квадрат интервала между S₁ и S₂ равен

где l' - трёхмерное расстояние между S₁ и S₂, равное r' - расстояние между лучами 1' и 2'. Т. о., s² = -(r'}². В системе L t₁ = t₂, фронт волны перпендикулярен к направлению лучей 1 и 2 и s² = - r², где r - расстояние между лучами в L. Т. к. s - инвариант, то r² = (r ')², что и доказывает сделанное выше утверждение. Более подробно вопрос о видимых изображениях рассмотрен В. Вайскопфом (V. Weisskopf) и В. Риндлером (W. Rindler) в 1977. Это явление не противоречит, разумеется, сокращению масштабов, описанному в предыдущем разделе, т. к. там речь шла о мгновенных измерениях, здесь же решающую роль играет запаздывание импульсов, идущих от разных точек тела.

Пространство скоростей

Пространством скоростей в частной О. т. называется пространство, каждой точке к-рого соответствует частица, движущаяся с данной скоростью v, а квадрат расстояния для двух бесконечно близких точек Р, Q равен квадрату их относит. скорости, измеренной по часам в Р и Q. Первое утверждение предполагает введение нек-рой системы отсчёта и в этом смысле координатно-зависимо, второе имеет абс. смысл. Удобно ввести след. параметризацию. Для коллинеарных скоростей, как следует из преобразований Лоренца, справедлив закон сложения скоростей (здесь и ниже будем полагать с = 1, что приводит к существ. упрощению ф-л):

где v_i - скорость точки 1 относительно начала отсчёта 0, v₂ - скорость точки 2 относительно точки 1 и r₀₂ - скорость точки 2 относительно 0. Эта ф-ла была получена выше для движения частицы по оси х, но, очевидно, справедлива всегда, если движение происходит по одной прямой. Введём параметр такой, что Тогда (18) принимает вид

т. е., в отличие от скорости, параметр аддитивен:

При откуда следует, что если в пространстве скоростей ввести в качестве радиальной координаты параметр то для двух точек, движущихся в одном направлении, квадрат расстояния в пространстве скоростей равен

Для точек Р и Q, движущихся с равными по модулю скоростями, образующими угол, расстояние между ними, если они движутся из одной точки, растёт как во времени покоящейся системы отсчёта. Т. к. dt связано с собств. временем для Р, Q соотношением то
Очевидно, что относит. скорость не зависит от нач. условия (совпадения Р и Q).
В бесконечно малой окрестности точки Р пространства скоростей действует закон параллелограмма скоростей Ньютона. Поэтому и, следовательно, в случае движения в заданной плоскости

Как известно, такая метрика есть метрика плоскости Лобачевского. Это - двумерное пространство с постоянной гауссовой кривизной К = -1.
Аналогично, трёхмерному случаю соответствует трёхмерное пространство Лобачевского. В пространстве Лобачевского, как во всяком пространстве с заданной метрикой, можно ввести параллельный перенос. Геодезические линии, образуемые параллельным переносом, по определению, есть прямые в этом пространстве. Т. к. в любой его точке в малой окрестности действует ньютонов закон сложения скоростей, то в этой окрестности параллельный перенос означает сохранение направления скорости, а если переносится какой-то др. вектор, то он должен сохранять угол с направлением скорости. В частности, параллельному переносу из О в А (В)координатных осей соответствует чисто лоренцево преобразование (без вращения) к системе отсчёта, движущейся со скоростью v₁(v₂) (рис. 1). Параллельный перенос вдоль геодезической АВ даёт чисто лоренцево преобразование от А к В. При этом из-за кривизны пространства система, полученная последовательностью переходов ОА, АВ, повёрнута (на угол) относительно системы, полученной переходом ОБ. Это отражает тот факт, что чисто лоренцевы преобразования не образуют группы. Аналогично можно убедиться, что они не коммутируют между собой.

Рис. 1. Система у-х' получена из ух параллельным переносом по АВ.

Неевклидовость пространства скоростей непосредственно ответственна за явление, наз. томасовской прецессией [Л. Томас (L. Thomas), 1926]. Если физически реализованный вектор - ось гироскопа или спин частицы - связан с системой, движущейся ускоренно, а рассматриваемый вектор не испытывает воздействия к--л. сил, то он переносится параллельно вдоль годографа скорости, и т. к. пространство имеет кривизну, он прецессирует. Для вычисления этой прецессии удобно ввести сопутствующую систему координат, получающуюся параллельным переносом из О в Р. При движении из Р в Р' вектор переносится параллельно и по отношению к сопутствующим осям оказывается повёрнутым на угол = KS_OPP', где К = -1, S_OPP' - площадь ОРР', что даёт

В случае движения по окружности, когда= const, для угл. скорости томасовской прецессии имеем

где - угл. частота. В нерелятивистском пределе Это выражение используется при расчёте тонкой структуры в атомной физике.
С помощью аппарата четырёхмерных векторов, описанного в след. разделе, легко получить для относит. скорости v₁₂ точек, движущихся со скоростями v₁ и v₂, образующими угол ф-лу

или

Ф-ла (24) является аналогом ф-лы косинусов сферич. тригонометрии для пространства Лобачевского.

Векторы и тензоры в пространстве Минковского

Для построения инвариантных и ковариантных выражений в частной О. т. используется тензорный аппарат в пространстве Минковского. Простейшей величиной, следующей за скаляром, является контравариантный четырёхмерный вектор. Таковым является, в частности, 4-вектор с компонентами х⁰ = t, x¹ = x, x² = у, х³ = z. Закон преобразования для него задан ф-лами (8). Произвольный 4-вектор, преобразующийся по ф-лам (8), наз. контравариантным. Квадрат его длины является инвариантной величиной.
Матрицы и связаны соотношением

где

Наряду с контравариантными компонентами вектора можно ввести ковариантные (часто говорят просто о ковариантных векторах) Для любых 4-векторов А, В можно определить скалярное произведение

инвариантное относительно преобразований Лоренца. Произвольный тензор ранга п + m с п контравариантными и m ковариантными индексами определяется законом преобразования:

Из определения следует, что он является инвариантным [переходящим сам в себя при преобразовании (27)] тензором второго ранга (то же относится к).
Из свойств преобразований Лоренца следует, что ранг тензора может быть понижен на 2: свёртыванием (суммированием) по произвольной паре верхних и нижних индексов.
Примерами 4-векторов являются 4-импульс системы 4-потенциал эл--магн. поля и др. Четырёхмерные векторы классифицируются по их поведению относительно несобств. преобразований Лоренца: полярные векторы меняют знак пространственных компонент, а временная компонента не изменяется; аксиальные векторы ведут себя противоположным образом. Аналогичная классификация применяется и по отношению к величинам, инвариантным относительно преобразований Лоренца: они делятся на скаляры и псевдоскаляры.
Примером тензоров может служить тензор энергии-импульса и тензор эл--магн. поля. Тензоры второго ранга могут быть симметричными и антисимметричными, для к-рых соответственно Тензор является примером тензора первого типа, - второго.
Рассматривая кинематику точки, движущейся по произвольной траектории под действием внеш. сил, удобно ввести в качестве параметра точки Р величину где интеграл берётся по траектории частицы от произвольной точки А, тогда В том случае первая производная по s даёт вектор четырёхмерной скорости

Т. к. то

i = 1,2,3,

Учитывая, что и деля это выражение

на ds², получаем

Т. о., квадрат длины равен 1. Инвариантное ускорение определяется как

Из (31) следует, что

т. е. четырёхмерное ускорение ортогонально к 4-скорости.
Операции дифференцирования и интегрирования в частной О. т. могут быть представлены в ковариантном виде. Взятие частной производной по повышает ранг тензора на единицу с появлением ковариантного индекса (простейший пример - вектор где - скаляр).
В четырёхмерном мире Минковского возможны одномерные многообразия - линии, двумерные - поверхности, трёхмерные - гиперповерхности и четырёхмерные - объёмы. По всем ним могут производиться операции интегрирования. Инвариантная форма интеграла по линии может иметь вид или
Элементом двумерной поверхности является тензор - соответственно инвариантный интеграл возникает при интегрировании с антисимметричным тензором. Элемент гиперповерхности, построенный на 4-векторах dx(1), dx(2), dx(3)(где числа в скобках нумеруют 4-векторы), имеет вид детерминанта

и является тензором третьего ранга. В этом случае удобно ввести полностью антисимметричный тензор такой, что = 1, а при каждой перестановке индексов знак меняется. Этот тензор инвариантен при собственных преобразованиях Лоренца (но меняет знак при замене t - t или r - r). С его помощью объёму гиперповерхности можно поставить в соответствие вектор Для случая, когда гиперповерхность - пространственная область с t = 0, у отлична от нуля только компонента ds₀, а если dx(1), dx(2), dx(3)направлены по осям х, у, z, то

ds₀ = dxdydz = dx^ldx²dx³,

т. е. ds₀ равна элементу трёхмерного объёма. Элемент четырёхмерного объёма может быть представлен в виде либо = dx⁰ dx¹ dx² dx³, т. е. он является четырёхмерным скаляром. Так же как в трёхмерном пространстве, в четырёхмерном пространстве существуют теоремы Гаусса и Стокса, напр.

Спинорные представления группы Лоренца

Из 4-вектора х⁰, х¹, х², х³ можно составить эрмитову матрицу

Детерминант этой матрицы представляет собой интервал (x⁰)² - (х¹)² - (х²)² - (х³)². Если умножить М справа на произвольную унимодуляриую матрицу (матрицу с детерминантом единица) К, а слева на эрмитово сопряжённую К матрицу К⁺ (М' = K+МК), то очевидно, что это преобразование сохраняет как эрмитовость, так и детерминант матрицы М. Действительно, (М')⁺ = (К⁺МК)⁺ = К⁺МК = М', detМ' = detК⁺detМ detК = detМ.
Т. о., если записать матрицу М' в виде

то получим s² = (s')², т. е. преобразование, принадлежащее группе Лоренца. Очевидно, что так построенные преобразования образуют группу. Можно показать, что каждому собств. преобразованию Лоренца соответствуют две и только две матрицы К, отличающиеся лишь знаком. Возможность найти для каждого преобразования Лоренца подходящую матрицу К следует, по существу, из того, что унимодулярная матрица зависит от стольких же параметров, что и группа Лоренца, а неоднозначность в знаке матрицы К очевидна. Если ввести двух-компонентную величинупреобразующуюся при преобразованиях Лоренца с помощью матрицы К, то получится новый вид представления группы Лоренца - спинорный. Он возникает естественно при построении Дирака уравнения, описывающего частицы со спином ¹/₂ в квантовой теории поля.

Структура пространства Минковского

Из ф-л (9) и (10) следует, что в частной О. т. время события не является абс. величиной: события, происходящие в разных точках, будут иметь разные времена в различных и. с. о., даже если они были одновременны в исходной системе отсчёта. Если |x_А - x_В| > |t_А - t_В|, (33) то временной порядок событий А, В может меняться при переходе от системы L к системе L'. В этом нет логич. противоречия, если скорость света является предельной для распространения сигналов и взаимодействии, т. к. тогда при выполнении условия (33) события А и В не могут быть причинно связаны. Напротив, если |х_А - х_В||t_A - t_B|, возможна причинная связь между А и В, но в этом случае порядок событий не меняется. (Однако если бы существовали частицы, движущиеся со скоростью, большей скорости света, - т. н. тахионы ,то порядок причинно связанных событий мог бы быть разным в разных системах отсчёта. Это приводило бы к серьёзным затруднениям с причинностью, т. к. наблюдатель в L' мог бы "уничтожить" событие А, к-рое в L порождает событие В, и причинная связь нарушилась бы. Попытки переинтерпретпровать теорию тахионов так, чтобы она стала непротиворечивой, не привели к успеху.)
Невозможность движения сигналов со скоростью, большей скорости света, не означает, что в частной О. т. вообще невозможны движения со сверхсветовой скоростью. Такие движения могут быть реализованы, напр., как движение "зайчика" от прожектора, но в этом случае взаимодействие и причинная связь между разными точками траектории "зайчика" отсутствуют.
Инвариантная запись (33), справедливая в любой системе отсчёта, имеет вид Такие интервалы наз. пространственноподобными. В подходящей системе отсчёта соответствующий им 4-вектор АВ может быть представлен в виде (0, r). Условие определяет времениподобные интервалы; соответствующий вектор может быть представлен в виде (t, 0), и время t - это время, отсчитанное часами, движущимися по прямой АВ. Ур-ние s² = 0 соответствует прямой, являющейся траекторией светового луча или любой безмассовой частицы. Относительно любой точки О трёхмерное многообразие, наз. световым конусом или световой гиперповерхностью, на к-рой лежат все световые лучи, проходящие через О, разбивает пространство на две области:

Если принять О за начало отсчёта, то в силу того, что собств. преобразования Лоренца не меняют направления времени внутри светового конуса и на нём самом (34а), световой конус и заключённый внутри него объём можно разбить на части, соответствующие t > 0 и t < 0, наз. верхней и нижней полами. Часть t > 0, , соответствует событиям, на к-рые О может оказать причинное воздействие, или точкам, в к-рые может прийти сигнал из О; это абс. будущее для О. Соответственно, события, относящиеся к нижней поле, - совокупность всех событий, к-рые О может увидеть, или тех, к-рые могут оказать на неё причинное действие. Т. о., эта пола - абс. прошлое для О. Все траектории тел и лучей, приходящих в О, должны принадлежать нижней поле t < 0, Соответственно, все лучи света и траектории тел, выходящих из О, принадлежат верхней поле и образуют абс. будущее для О.
Совокупность точек, связанных с О векторами (0, х, у, z) в системе отсчёта L, где точки по оси времени имеют вид (t, 0), т. е. в системе, где ось времени проходит через О, очевидно, соответствует гиперповерхности, ортогональной к оси времени в метрике Минковского. Она состоит из событий, одновременных с О и образующих трёхмерное евклидово пространство. Такое пространство можно построить для любой точки на осп времени. Телам, покоящимся в этом пространстве, отвечают прямые мировые линии, параллельные оси времени.
Траектории любого тела, движущегося прямолинейно и равномерно в системе L и проходящего через О при t = 0, можио принять за временную ось системы отсчёта L', связанной с L преобразованием Лоренца. Единичный вектор e_t, направленный по оси времени, всегда удовлетворяет инвариантному условию

Для оси t он имеет вид (1, 0, 0, 0), а произвольный вектор, направленный по этой оси, есть te_t = (t, 0, 0, 0). Для оси t' единичный вектор е'_t равенс компонентами соответственно, произвольный вектор, направленный по t', имеет вид t'u = (t', t'). Совокупность всех векторов, ортогональных оси t' в заданной точке, образует пространство системы L', и события, лежащие в нём. одновременны в L'. Если в данной точке t' в этом пространстве построить оси х', y', z', то они образуют полный набор координат в L'. Ось х' можно поместить в плоскость tt' (рис. 2), тогда единичный вектор, направленный по x', будет иметь вид е'_х (0, 0); в метрике Минковского он ортогонален е'_х.
Отсюда сразу вытекают эффекты изменения интервалов времени и пространства при переходе от L к L'. Промежуток времениt' в L' имеет временную компоненту в L, равную временной компоненте вектораt'е'_t, что даёт или

Соответственно, чисто пространственный отрезок АВ длины l₀ в L описывает в мире Минковского полосу, показанную на рис. 3; точки пересечения её границ с осью х' одновременны с точки зрения L' и, следовательно, определяют длину l отрезка АВ в движущейся системе. Но l₀ - это компонента векторапо оси x, т. е. или

Релятивистская механика

Для всех известных в частной О. т. классич. полей и частиц ур-ния движения могут быть получены из условия равенства нулю вариации действия:

Величина S являетсячетырёхмерным скаляром и может быть представлена в виде

где L - плотность ф-ции Лагранжа (лагранжиан ).Для свободной материальной точки массы m

Условие экстремума даёт

Величина наз. 4-импульсом частицы.
Релятивистская инвариантность требует инвариантности действия для замкнутой системы относительно группы Пуанкаре. Инвариантность относительно подгруппы сдвигов приводит, в силу теоремы Нётер, к четырём законам сохранения:

конкретный вид тензора определяется видом L. Легко показать, чтовсегда может быть приведён к симметричному виду. Из (40) следует существование четырёх сохраняющихся величин:

где интеграл берётся по трёхмерной гиперповерхности. Величины образуют 4-импульс; компонента Р° -энергия системы, Рⁱ(i = 1, 2, 3) - компоненты её импульса. При интегрировании в (41) можно взять любую гиперплоскость или даже искривлённую пространственноподобную гиперповерхность, делящую мир Минковского на две части. Выбирая в качестве гиперповерхности гиперплоскость х⁰ = const, получаем

и

Вектор времениподобен, поэтому всегда можно систему отсчёта, в к-рой определено интегрирование в (42), выбрать так, что Рⁱ = 0. Эту систему называют системой покоя для рассматриваемого тела. В ней, по определению, 4-скорость тела равна (1,0). Введём массу тела, определив её в системе покоя как

Отсюда следует, что в системе покоя

В силу релятивистской инвариантности это справедливо в любой системе отсчёта, если массу считать скаляром. Переходя в систему отсчёта, движущуюся со скоростью v, получаем

т. е.

Это соотношение справедливо и для безмассовых частиц, для к-рых v - единичный вектор. Случай m = 0 получают предельным переходом. В системе единиц с с 1 ф-лы (45), (46) принимают вид:

Многие авторы, пытаясь сохранить ньютоново соотношение между импульсом и энергией (Р = mv), наз. величину полной массой, релятивистской массой или просто массой и обозначают её т(v), т_r или m, а обычную массу, к-рая в этой статье обозначается т, наз. массой покоя (обозначают m₀). Т. о. в их обозначениях т = т_r = m (v) = Введение m(v), однако, излишне, т. к. приводит к необходимости говорить о двух законах сохранения: энергии и полной массы, тогда как второй из них есть просто закон сохранения энергии, поделённой на с². Кроме того, ф-лы (47) неприменимы к безмассовым частицам.
Для материальной точки состояние движения однозначно определяется вектором, и 4-импульс (введённый описанным выше способом) равен Если п первоначально изолированных друг от друга тел (систем) вступают в нек-рой области пространства-времени во взаимодействие, после чего возникают п' новых тел, то, поскольку до взаимодействия полный 4-импульс а после взаимодействия где P_in и P_out обозначают начальные (входящие) и конечные (выходящие) частицы, и поскольку полный импульс сохраняется всегда,

В частности, для энергии имеем

где r и f нумеруют входящие и выходящие частицы.
В отличие от энергии сумма масс не сохраняется, но полная масса замкнутой системы, разумеется, сохраняется в любом процессе. Напр., в физике элементарных частиц хорошо известен процесс распада Нач. сумма масс есть просто а конечная равна нулю. Если обозначить 4-пмпульс, a k₁, k₂ - 4-импульсы и, то В системе центра инерции двух: , k₁ = (,k), k₂ = (, - k), |k|=,окончательно Из (48) следует, что если покоящемуся телу сообщают энергию то его масса возрастает на ту же величину,(предполагается, что сообщаемый телу импульс равен нулю), н, наоборот, если тело теряет энергию оставаясь в покое, то его масса уменьшается на
В нсрелятивистском пределе энергия в (49) может быть записана в виде m + mv²/2 и закон сохранения энергии принимает вид

Напр., в распаде урана его масса покоя больше сумм масс покоя осколков; разность масс выделяется в виде их кинетич. энергий.
Из (39) следует, что для любого тела

Использование 4-импульса существенно упрощает решение задач с релятивистской кинематикой. Так, при распаде частицы с массой т₀ на частицы с массами т₁, т₂ получаем Р₀ = Р₁ + Р₂ или Р₀ - Р₁ = Р₂ (52) Возводя в квадрат (52), получаем
В системе покоя частицы с массой т₀ имеем (P₀P₁) = откуда и аналогично для
Для системы, находящейся во внеш. поле, 4-импульс не сохраняется. Для точечной частицы массы т закон его изменения можно представить в виде

где - четырёхмерная внеш. сила. В электродинамике (сила Лоренца) и ур-ние движения для частицы в поле имеет вид

(е - электрич. заряд частицы).

Экспериментальные основания частной О. т.

Первоначальной эксперим. основой частной О. т. был ряд оптич. экспериментов, установивших отсутствие эффектов, связанных с движением Земли относительно гипотетич. эфира в порядках v/c и (v/с)² (последнее - в опыте Майкельсона - Морли в 1887; см. Майкельсона опыт ).Именно основываясь на этих опытах, А. Пуанкаре в 1895 высказал гипотезу, что постулат относительности точен во всех порядках по v/c. К 1905, когда Лоренц, Пуанкаре и Эйнштейн дали свои формулировки частной О. т., отсутствие эффектов в порядке v/c нашло дополнит. подтверждение в ряде опытов, но отсутствие эффектов в порядке (v/c)² подтверждалось только опытом Майкельсона - Морли.
Постулат независимости скорости света от движения источника подтверждения на опыте не имел; он был выдвинут Эйнштейном как следствие справедливости электродинамики Лоренца в системе эфира и принципа относительности, исходя из к-рого этот постулат переносится на любые и. с. о.
Опыты Майкельсона - Морли неоднократно повторялись в 20-е гг. и неизменно давали отрицат. результат. С появлением мазеров возникла возможность проверки отсутствия эффектов в порядке v/c в распространении света [Седерхольм (Y. P. Cederholm) и др., 1964]. Достигнутая точность порядка 10^-3.
Независимость скорости света от движения источника неоднократно проверялась, наиб. точно - в работе Т. Альвегера (Т. Alvager) с сотрудниками (1964). В этом опыте измерялась скорость фотонов от распада p⁰-мезонов с энергией ок. 1 ГэВ, т. е. движущихся со скоростью, практически равной с. При этом скорость движущихся вперёд-квантов совпадала со скоростью света с точностью порядка 10^-4.
В 1986 проверялась ф-ла релятивистского эффекта Доплера:

Достигнутая точность для совпадения отношения с теоретически предсказанной величиной [ф-ла (55)] составляет 1,00004(27), т. е. ~ 3 х 10^-4. В принципе точность опыта может быть доведена до 10^-7.
Ставились опыты по проверке отд. следствий частной О. т. Так, эффект замедления времени был проверен С. Росси (S. Rossi) с сотрудниками (1942) [III, 3] вплоть до~10. Полученный результат, включая зависимость времени жизни от, согласуется с предсказаниями О. т.
В ядерной физике проверялось соотношение между дефектом массы и выделяющейся в реакции энергией. В особо прецизионных опытах Н. Смит (N. Smith, 1939) [III, 1] показал, что выделяющаяся энергия соответствует дефекту массы с точностью ~0,01.
В совр. технике широко применяются такие устройства, как электронно-лучевые трубки, электронные микроскопы и др., в к-рых достигаются 1. Для расчёта таких устройств применяются ф-лы релятивистской механики, и в этом смысле частная О. т. является такой же основой инженерных расчётов, как механика Ньютона - основой для расчётов кораблей, самолётов, мо-

стов и др. "нерелятивистских" сооружений. Наибольшиедостигаются в совр. ускорителях заряж. частиц: для протонов ~ 10³, для электронов ~ 10⁵. При этом наглядно демонстрируется тот факт, что скорость света является предельной для всех частиц: после того как становится больше 10, энергия частиц растёт, а скорость не изменяется, становясь практически равной скорости света.
Одним из наиб. ярких релятивистских эффектов, наблюдаемых на электронных циклич. ускорителях больших энергий (синхротронах), является релятивистский рост частоты синхротронного излучения; релятивистские эффекты приводят к тому, что частота синхротронного излучения имеет резкий максимум при , где - угл. частота движения электронов. Этот эффект хорошо наблюдается. Релятивистское замедление времени лежит в основе технологии получения вторичных пучков нестабильных частиц:,,, и др. Напр., в состоянии покоя- и- гипероны живут соответственно 0,8 х 10^-10 с и 1,5 х 10^-10 с, но уже при ~10 они, двигаясь со скоростью v = с, имеют длины распада 24 см и 45 см, что делает возможным формирование-пучков. Ещё сильнее проявляется замедление времени в пучках-мезонов, где достигается ~10³ и выше.
Точность релятивистской кинематики можно оценить по точности в определении масс нестабильных частиц (~ 10^-4 - 10^-5.) Здесь производится проверка кинематики на самосогласованность, поэтому приведённая ошибка в определении масс может рассматриваться как оценка точности релятивистской кинематики.
Геометрия Минковского лежит в основе совр. теорий взаимодействия элементарных частиц - квантовой электродинамики (КЭД), квантовой хромодинамики и теории электрослабого взаимодействия, объединяющей КЭД и теорию слабого взаимодействия. Из перечисленных теорий лучше всего на опыте проверена КЭД, относительно к-рой из прямых опытов известно, что она справедлива вплоть до расстоянии 10^-16 см и соответственно времён ~10^-26 с. Вплоть до таких расстояний и времён действует, т. о., геометрия Минковского.

Лит.: 1. Труды классиков: 1) Принцип относительности, Г. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. Минковский. Сб. работ, М. - Л., 1935; 2) Лоренц Г. А., Старые и новые проблемы физики. [Сб. пер.], М., 1970; 3) Пуанкаре А., Избр. труды, т. 3, М., 1974; 4) Эйнштейн А., Собр. научных трудов, т. 1 - 2, М., 1965 - 66. II. Монографии: 1) Борн М., Эйнштейновская теория относительности, пер. с англ., 2 изд., М., 1972; 2) Вавилов С. И., Экспериментальные основания теории относительности, М. - Л., 1928; 3) Вайскопф В., Физика в двадцатом столетии, пер. с англ., М., 1977; 4) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 7 изд., М., 1988; 5) Логунов А. А., Основы теории относительности, М., 1982;
6) Rindler W., Essential relativity, 2 ed., N. Y., 1977; 7) Паули В., Теория относительности, пер. с нем., 2 изд., М., 1983; III. Периодические издания: 1) Srаith N. М., The energies released in the reactions Li (p,a)He⁴ and Li^u (d,a) He⁴ and masses of the light atoms, "Phys. Rev.", 1939, v. 56, p. 548; 2) Rоssi В. и др., Farther measurements of the mesotron lifetime, "Phys. Rev.", 1942, v. 61, p. 675; 3) Review of particle properties. Particle data group, "Rev. Mod. Phys.", 1984, v. 56, N° 2, pt 2; 4) A1vagеr Т. и др., Test of a second postulate of special relativity in the GeV region, "Phys. Lett.", 1964, v. 12, p. 260; 5) Сеdаrhо1m ,J. P. и др., New experimental test of special relativity, "Phys. Rev. Lett.", 1958, v. 1, p. 342; 6) Мас Arthur D. W. и др., Test of a special-relativistic Doppler formula at p = 0,84, "Phys. Rev. Lett.", 1986, v. 56, p. 282.

И. Ю. Кобзарев.

   <<      Предметный указатель      >>