осциллятор

ОСЦИЛЛЯТОР (от лат. oscillo - качаюсь) - система (или материальная точка), совершающая колебательное периодич. движение около положения устойчивого равновесия. Термин "О." применим к любой системе, если описывающие её величины периодически изменяются со временем. Простейшие примеры осциллятора в классической механике - грузик на пружинке, маятник.
Важнейший тип О. - линейный гармонический осциллятор, колебания к-рого являются осн. моделью движения частиц в атомах, атомных ядрах, молекулах, твёрдых телах. Потенц. энергия линейного гармония. О. U = kx²/2, где x(t) - отклонение от положения равновесия, k - пост. коэф. (в случае груза на пружинке k - жёсткость пружины). Она представляет собой первый член разложения в ряд по х потенц. энергии U(x)при малых х.
Ур-ние движения линейного гармонич. О. имеет вид

где - частота О., т - масса ( где Т - период колебаний; точки означают дифференцирование по времени). Общее решение ур-ния (1):

(А - амплитуда колебаний О., - нач. фаза). Движение О., описываемое зависимостью (2), происходит под влиянием возвращающей силы F, направленной к положению равновесия и пропорц. величине отклонения от положения равновесия: F = - дU/дx = - kx. При движении О. в пренебрежении силами трения его полная энергия

сохраняется. Кинетич. энергия и потенц. энергия kx²/2 в процессе движения изменяются от нуля до Энергия колебаний О. может быть выражена через амплитуду и частоту:

Импульс О. меняется по тому же закону (2), что и х, но со сдвигом по фазе на

(соответственно кинетич. и потенц. энергии О. изменяются в противофазе). Если изобразить движение О. на фазовой плоскости, по оси абсцисс к-рой отложена координата, а по оси ординат - импульс, то его периодпч. движение происходит по эллипсу

с полуосями соответственно А и
Понятие "О." распространяется и на немеханич. системы: колебания тока и напряжения в колебат. контуре, колебания векторов напряжённостей электрич. и магн. нолей в эл--магн. волне и т. д.
Квантовый О. описывается гамильтонианом

где и - операторы импульса и координаты; в конфигурац. представлении Уровни энергии квантового О. эквидистантны:

Они определяются из Шрёдитера уравнения

и изображаются обычно на кривой потенц. энергии О. (рис.), а волновые ф-ции стационарных состояний О. выражаются через полиномы Эрмита Н_п(см. Ортогональные полиномы):

Здесь l - амплитуда нулевых колебаний, В осн. состоянии О. с волновой ф-цией

его энергия (энергия нулевых колебаний) имеет наинизшее возможное значение В стационарных состояниях О. ср. значения координаты и импульса равны нулю. Согласно Эренфеста теореме, ср. значения координаты и импульса гармонич. О. изменяются в соответствии с классич. траекториями. Наглядно это движение проявляется в нормированных когерентных состояниях О.

удовлетворяющих нестационарному ур-нию Шрёдингера и являющихся собств. состояниями для неэрмитового интеграла движения (оператора уничтожения)

С комплексным собств. значением: В когерентном состоянии ср. значения координаты и импульса, как и в классич. механике, описывают в фазовом пространстве эллипс. Оператор уничтожения и оператор рождения действуют на n-е состояние след. образом:

т. е. соответственно уничтожают и рождают квант энергии О. Через операторы рождения и уничтожения гамильтониан гармонич. О. выражается так:

Важность модели О. заключается в том, что все совр. модели квантовой теории поля базируются на многомерном (бесконечномерном) обобщении этого выражения:

где индекс i трактуется как характеристика моды поля (эл--магн., акустического и т. д., т. е. фотона, фонона и т. п.), а операторы, - как операторы рождения и уничтожения кванта бозонного поля. К этой же модели сводятся движение заряда в магн. поле, изменение тока и напряжения в колебат. контуре, колебания ядер в многоатомных молекулах и атомов и молекул в твёрдых телах, колебат. движение нуклонов в ядрах и т. д.

При учёте затухания ур-ние движения (1) О. принимает вид

где - коэф. затухания, а движение О. представляет собой затухающие колебания около положения равновесия:

В квантовой картине затухание колебаний О. описывается неск. моделями, одна из к-рых базируется на гамильтониане

причём во всех моделях ср. значения координаты О. описываются ф-лой (18), а для др. величин в рамках разных моделей имеются различия. Если на О. действует внеш. периодическая (с частотой) сила то возникают вынужденные колебания О. на частоте вынуждающей силы, описываемые ф-лой

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при сближении собств. частоты О. и частоты вынуждающей силы наз. резонансом гармония. О. Коэф. затухания определяет сдвиг фазы колебаний О. по отношению к вынуждающей силе, равный 0 при отсутствии затухания и/2 в резонансе. Для квантового аналога О. с затуханием также существует резонанс. Под влиянием внеш. силы f(t)квантовый О. может переходить с одного уровня энергии (п)на другие (т). Вероятность этого перехода W_nm(t)для О. без затухания даётся ф-лой

где

- полиномы Лагерра (см. Ортогональные полиномы ).Правила отбора для О. определяются ненулевыми матричными элементами оператора координаты (дипольное приближение). Согласно ф-лам (13), (14), эти элементы отличны от нуля только для переходов между соседними уровнями, поэтому излучение О. происходит на одной частоте (совпадающей с классической,=).
Если потенц. энергия О. содержит члены типа,х⁶и т. д., то О. наз. ангармоническим (нелинейным) и характер его движения радикально отличается от даваемого ф-лой (2). Если частота гармонич. О. меняется со временем, то О. наз. параметрическим, для к-рого также характер колебаний отличен от (2), причём существуют новые явления, напр. параметрич. резонанс О.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 4 изд., М., 1989; их же, Механика, 4 изд., М., 1988, с. 207; Малкин И. А., Манько В. И., Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем, М., 1979.

В. И. Манъко.

   <<      Предметный указатель      >>