ортогональные полиномы

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ - системы полиномов , п = 0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале (а, b):

где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в разл. задачах матем. физики: в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задач на собственные значения в теории волн, квантовой механике и др.
Задание веса и интервала (а, b)определяет полином р_п(х), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов р_п(х)справедливо след. явное выражение в виде определителя:

где А_п - нормировочная постоянная, - момент весовой ф-ции. Из соотношений ортогональности (1) можно получить мн. свойства О. п. Напр.: полином р_п(х)ортогонален произвольному полиному меньшей степени; для произвольных О. п. справедлива рекуррентная ф-ла, связывающая три последоват. полинома p_n-1(x), р_n(x), р_п+1(х),

где - постоянные.

Классические О. п. - полиномы Якоби, Лагеррa и Эрмита, часто встречающиеся в теоретич. и матем. физике. Классич. О. п. удовлетворяют ур-ниям вида

где - полином степени не выше 2, - полином степени не выше 1, - постоянная. Ур-ние (2) можно записать в самосопряжённом виде

где ф-ция удовлетворяет ур-нию

При значениях

n = 0,1,2,...,

ур-ние (2) имеет полиномиальные решения у = у_п(х), к-рые можно представить в виде ф-лы Родрига

где В_п - нормировочная постоянная.

Т. к. производные от решений ур-ния (2) также удовлетворяют ур-нию того же вида, то получаем ф-лу Родрига для производных от полиномов у_n(х):

При помощи линейной замены независимой переменной, не меняющей вида ур-ния (2), полиномы у_п, (х), ф-ции и можно привести к след. канонич. видам.
1) Полиномы Якоби:

Частными случаями полиномов Якоби являются:

а) полиномы Лежандра

б) полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода

в) полиномы Гегенбауэра (ультрасферич. полиномы)

Здесь

Через полиномы Якоби можно выразить также сферические гармоники и обобщённые сферич. ф-ции (Вигнера функции).

2) Полиномы Лагерра:

3) Полиномы Эрмита:

Ф-лы дифференцирования для полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита:

Если полином имеет кратные корни, т. е. = (х - а)², то соответствующие полиномы у_п(х)можно выразить через полиномы Лагерра:

( С_п - нормировочная постоянная). Полиномы у_n(x), для к-рых ф-ция удовлетворяет условию

(а, b - вещественные числа; k = 0, 1, ...), ортогональны с весомна интервале (а, b), т. е.

Отсюда следует, что полиномы Якоби ортогональны с весом на интервале ( - 1, 1) при> - 1, > - 1; полиномы Лагерра - с весом на интервале (0,) при > - 1, полиномы Эрмита Н_п(х) - с весом ехр ( - х²) на интервале ( -, ).
В случае выполнения условия (5) полиномы у_п(х)наз. классическими О. п. Обычно эти полиномы рассматривают при дополнит. условии(х)> 0. Производные классич. О. п. также являются классич. О. п., к-рые ортогональны с весом на интервале (а, b):

Системы классич. О. п. замкнуты для непрерывных ф-ций f(x), удовлетворяющих условию квадратичной интегрируемости, т. е. из равенств

следует, что f(x) = 0 при х(а, b)для любых непрерывных ф-ций f(x), удовлетворяющих условию 0 <
Если ф-ция на интервале (а, b)является ограниченным и положительным решением ур-ния удовлетворяющим условию (5), то нетривиальные решения у = у(х)ур-ния (3), для к-рых ф-ция ограничена и квадратично интегрируема на интервале (а, b), существуют только при

и = 0,1,..., и имеют вид

т. е. совпадают с классич. О. п. Если а и b конечны, то требование квадратичной интегрируемости можно опустить.
В табл. 1 приведены осн. характеристики полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита.

Табл. 1.

Здесь Г (х) - гамма-функция.

Производящие ф-ции для полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита:

Асимптотич. представления при

Классические О. п. дискретной переменной. Заменим (2) разностным ур-нием второго порядка точности по h на сетке х = x(s) с переменным шагомх = x(s + h) - x(s). После замены s на hs получим

где

Для сеток

(а, b, с, С₁, С₂, С₃ - постоянные), к-рые линейными преобразованиями x(s)c₁x(s) + c₂, ss + с можно привести к канонич. видам

( - постоянная), выполняется простое свойство, аналогичное осн. свойству ур-ния (2): в результате разностного дифференцирования (6) получается ур-ние того же типа.
При определ. значениях ур-ние (6) имеет частные решения где - полином степени п относительно переменной х. Полиномиальные решения, х = x(s)ур-ния (6) даются разностным аналогом ф-лы Родрига:

где В_п - постоянная, ф-ция - решение ур-ния

при

Нек-рые из этих решении имеют самостоят. значение и используются в квантовой механике, теории представлений групп, вычислит. математике, теории вероятностей.
Ф-ла, аналогичная (7), справедлива для разностных производных от полиномиальных решений ур-ния (6). С помощью (7) можно получить ф-лы разностного дифференцирования, свойства симметрии и ряд других свойств полиномов у_п(х).
При выполнении условий

k = 0,l,...

полиномиальные решения и ур-ния (6) при ортогональны в смысле суммы:

х_i = х(s_i).

Решения (7), для к-рых справедливо свойство (8) (причём на отрезке [а, b - 1] ф-ция не меняет знак, ф-ция x(s) - монотонна), наз. классич. О. п. дискретной переменной на неравномерных сетках.
Т. к. свойство ортогональности (8) для классич. О. п. дискретной переменной получается из свойства ортогональности для произвольных О. п. в результате замены определённого интеграла на сумму, то для полиномов при соответствующем определении скалярного произведения сохраняются все общие свойства произвольных О. п. р(х). В частности, справедливо рекуррентное соотношение. Среди полиномиальных решений ур-ния (6) наиб. известны полиномы Хана,полиномы Мейкснера , полиномы Кравчука и полиномы Шарлье (случай линейной сетки x(s) = s; табл. 2).

Табл. 2.

Через классич. О. п. дискретной переменной на линейной и квадратичной сетке выражаются матричные элементы представлений группы трёхмерных вращений, коэф. Клебша - Гордана и коэф. Рака.
Классич. О. п. как непрерывного, так и дискретного аргумента можно выразить через гипергеометрические функции, и их обобщения.

Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 1, 1973; Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984; Никифоров А. Ф., Суслов С. К., Уваров В. Б., Классические ортогональные полиномы дискретной переменной, М., 1985.

А. Ф. Никифоров.