киральность

КИРАЛЬНОСТЬ - сохраняющееся квантовое число в теориях полей, обладающих киральной симметрией. В физ. приложениях киральные преобразования, как правило, меняют пространств. чётность состояния.

Примером может служить лагранжиан L, описывающий взаимодействие Дирака поля со скалярным полем и псевдоскалярным полем :

где черта над означает дираковское сопряжение, - лоренцов индекс (=0, 1, 2, 3), - Дирака матрицы, , - производная по координате, V - произвольная ф-ция аргумента (х - точка пространства-времени; по повторяющемуся индексу предполагается суммирование). Инфинитизимальные киральные преобразования имеют вид

где - параметр преобразования. Правое и левое поля,

являются диагональными при этих преобразованиях, т. е. преобразуются сами через себя. Поэтому и (соответствующие лево- и правовинтовым спинорным частицам) представляют собой собств. ф-ции генератора киральных преобразований и отвечающие им собств. значения, или К., равны (при определённой нор-мировке) 1. Т. о., для свободных спинорных частиц классификация по К. совпадает с классификацией по спиральности, т. е. по проекции спина на направление движения. Для невзаимодействующих частиц сохранение спиральности непосредственно следует из сохранения полного момента.

Однако для взаимодействующих частиц сохранение К. не сводится к сохранению момента, т. е. спиральности. Это видно уже из того, что в приведённом примере К. обладают и скалярные частицы, спиральность к-рых всегда равна нулю. Если, напр , спинорная частица с определённой спиральностью переходит в спи-норную и скалярную частицы, то из сохранения спиральности следует только, что проекция полного момента конечных частиц на направление движения начальной частицы равна спиральности последней. Если же лагранжиан обладает и киральной инвариантностью, то возникают дополнит. следствия для амплитуд перехода. В рассматриваемом примере киральная инвариантность означает равенство вероятностей переходов с испусканием скалярной () и псевдоскалярной () частиц.

В контексте реалистич. кирально-инвариантных теорий чаще всего обсуждаются спинорная квантовая электродинамика (КЭД), квантовая хромодинамика (КХД) и феноменологич. лагранжианы сильного взаимодействия. Точной киральной инвариантности отвечают случаи нулевых масс соответственно электрона, кварков или -мезона. Хотя в действительности ни одна из перечисл. масс не равна нулю, пренебрежение этими массами часто оправдан .

В безмассовой спинорной КЭД или КХД закон преобразования спинорного поля представляется подобно (2). Электромагнитное же и глюонные поля не меняются при киральных преобразованиях, т е. имеют нулевую К. Из сохранения К. в этом случае следует сохранение спиральности фермиона даже с учётом взаимодействия. Если, напр., при испускании фотона спиральность электрона изменяется, то это не противоречит закону сохранения полного момента. Однако для безмассовых электронов такой процесс запрещён сохранением К.

В случае КХД формулировать следствия из сохранения К. в терминах спиральностей кварков удобно лишь для расчётов в рамках теории возмущений. В общем случае, поскольку свободные кварки ненаблюдаемы, следует обратиться к феноменологич. лагранжианам, описывающим взаимодействия адронов, к-рые должны обладать той же группой симметрии, что и фундам. лагранжиан КХД. Если пренебрегать массами u-, d-, s-кварков, то лагранжиан КХД обладает киральной SU(3)-симметрией, что отвечает возможности наряду с чётностью состояния менять тип (аромат) кварка. Более того, киральная симметрия реализуется для адронов нелинейным образом, и следствия из этой симметрии сводятся к соотношениям между амплитудами процессов с испусканием разного числа мягких (малой энергии) или К-мезонов.

Следствия из киральной инвариантности часто формулируют в терминах сохраняющегося к и р а л ь н о-г о тока .В случае безмассовой КЭД, напр., речь идёт о токе

дивергенция к-рого пропорциональна массе спинорного поля:

(здесь не учитывается т. н. аномалия). Генератором киральных преобразований, как обычно, служит интеграл по пространству от нулевой компоненты тока:

Выше предполагалось, что К. эл--магн. поля равна нулю. Однако в нек-рых случаях представление о К. эл-магн. поля может оказаться также полезным. Так, известно, что лево- (право-) винтовой фотон, распространяясь в произвольном внешнем гравитац. поле, не меняет своей спиральности даже с учётом взаимодействия. Т. е. в этом случае правильнее говорить о К. фотона. В терминах напряжённостей эл--магн. поля комбинацией, обладающей определённой К., будет E+iH, где E и H - напряжённости соответственно электрич. и магн. полей. Более того, ур-ния Максвелла инвариантны относительно преобразований, меняющих чётность,

где - тензор напряжённости эл--магн. поля, , - полностью антисимметричный тензор. Эта инвариантность ур-ний Максвелла и соответствует сохранению спиральности фотона, распространяющегося в гравитац. поле. Следствия из сохранения К. в этом случае можно сформулировать, введя в рассмотрение ток :

где - вектор-потенциал. Плотность тока не является калибровочно-инвариантной (см. Калибровочная инвариантность), но соответствующий заряд, , не меняется при калибровочных преобразованиях и может быть использован для классификации состояний. Ток не сохраняется: . Однако можно доказать, что все матричные элементы от для переходов в состояния с любым числом гравитонов должны обращаться в нуль:

где - вакуумное состояние, - состояние с п гравитонами. (В действительности это соотношение в случае n=2 нарушается киральной аномалией.)

Следует отметить, что о киральных преобразованиях часто говорят и без связи с изменением чётности. В математике наиб. общим (локально) киральным полем наз. ф-ция, определённая на k-мерном евклидовом пространстве R со значениями в нек-ром нелинейном многообразии М. Простейшим примером понимаемого так кирального поля является т. н. n-поле. Лагранжиан n-поля такой же, как для п невзаимодействующих скалярных полей :

Однако накладывается дополнит. условие: сумма квадратов полей равна 1: . Т. е. в данном случае нелинейное многообразие М, о к-ром идёт речь в определении кирального поля, представляет собой сферу. Очевидно, что теория инвариантна относительно поворотов в пространстве значений полей ,- это и есть киральные преобразования. Использование термина "киральные поля" в этом случае связано с тем, что фактически речь идёт об обобщении взаимодействия скалярных (и псевдоскалярных) полей, входящих в лагранжиан (1) (в отсутствие связи с фермионами различать скалярные и псевдоскалярные поля не имеет смысла).

Лит.: Р а м о н П.. Теория поля, М., 1984, гл. 1; Д у б-р о в и н Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1980, гл. 8.

В. И. Захаров.

   <<      Предметный указатель      >>