Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
МОНИТОРИНГ ВУЛКАНОВ
Новая лазерная система позволит заблаговременно предсказать активизацию вулканов.
Современные сейсмометры регистрируют подземные толчки и другие движения земной коры,но их показания недостаточно точны. Более перспективный метод предсказания извержений основан на контроле соотношения изотопов углерода в углекислом газе. Далее...

Извержение вулкана

кватернионы

КВАТЕРНИОНЫ - элементы множества И, представимые в виде2501-74.jpg2501-75.jpg . Здесь 2501-76.jpg - веществ, числа, а (1, г, /, k)- образующие базиса в Н, удовлетворяющие соотношениям:

2501-77.jpg

Обозначения принадлежат У. Гамильтону (W. R. Hamilton), открывшему К. в 1843. В его честь для обозначения множества всех К. употребляется буква Н. Соотношение (1) можно записать в более компактной форме: пусть е0, e1 , е2, е3 - образующие, тогда

2501-78.jpg

2501-79.jpg - Леви-Чивиты символ).

Умножение К. q на скаляр a и сложение К. определяются так же, как и для обычных векторов. Можно ввести произведение двух К. 2501-80.jpg ф-лой 2501-81.jpg= (иногда выделяют скалярную и векторную части 2501-82.jpg К.: 2501-83.jpg , тогда умножение векторных частей определяется ф-лой V1V2=-(V1V2)+[V1V2]). Тем самым множество H превращается в алгебру (алгебру кватернионов). Из соотношений (1) следует, что Н - некоммутативная, но ассоциативная алгебра. Алгебра Н содержит в виде подалгебры поле веществ. чисел R=2501-84.jpg и поле комплексных чисел2501-85.jpg

Алгебра Н допускает изоморфное матричное представление с помощью Паули матриц:

2501-86.jpg

(здесь2501-87.jpg

Для каждого К. 2501-88.jpg определён сопряжённый К. 2501-89.jpg и норма 2501-90.jpg Обратным кватернионом является 2501-91.jpg . Каждый ненулевой К. имеет обратный. Алгебра с таким свойством называется алгеброй с делением. Алгебра Н (наряду с полями R и С) является единств. ассоциативной алгеброй с делением (теорема Фробениуса). Список алгебр с делением замыкает алгебра октонионов (октав, чисел Кэли) - 8-мерная алгебра, в к-рой нарушена ассоциативность произведения. Наряду с веществ. и комплексными числами в разл. вопросах теории представлений групп, топологии и физики можно использовать К. Вращение трёхмерного пространства можно задать при помощи К. с нормой 1 (аналогично тому, как вращение плоскости задаётся комплексным числом с модулем 1).

Лит.: Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986; Казакова Г., Векторная алгебра, пер. с англ., М., 1979.

М. И. Монастырский.

  Предметный указатель