дирака уравнение

ДИРАКА УРАВНЕНИЕ - квантовое (волновое) ур-ние для релятивистской частицы со спином (электрона, мюона, кварка и др. частиц). Получено (для электрона) в 1928 П. A. M. Дираком (P. A. M. Dirac) из след. требований: 1) ур-ние для волновой ф-ции частицы (x - пространственные координаты, t - время) должно быть линейным для того, чтобы выполнялся принцип суперпозиции состояний; 2) в ур-ние должна входить первая производная по времени с тем, чтобы задание в нач. момент определяло волновую ф-цию в любой последующий момент времени; 3) ур-ние должно быть инвариантным относительно Лоренца преобразований, т. е. иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта; 4) величина (где-означает эрмитово сопряжение) должна иметь физ. смысл плотности вероятности нахождения частицы в точке х в момент времени t; 5) ур-ние для свободной частицы (массы т)должно быть построено так, чтобы состояние с импульсом р и энергией было его решением только в случае, если выполняется релятивистское соотношение (используется система единиц=с=1).

Всем этим требованиям удовлетворяет система ур-ний для ф-ции , к-рая имеет четыре компоненты и записывается в виде столбца:

(х - точка пространства-времени). При преобразованиях Лоренца и пространственных поворотах они преобразуются как компоненты четырёхкомпонентного спинора (биспинора).

Ковариантный вид Д. у. зависит от выбора метрики пространства-времени. Если метрика выбрана так, что

,

где - метрический тензор (x⁰=t), то ур-ние имеет вид

где - Дирака матрицы, ,=0, 1, 2, 3 (по повторяющемуся индексу предполагается суммирование). Сопряжённый биспинор удовлетворяет ур-нию

Из (1) и (2) для четырёхмерного вектора тока вытекает ур-ние непрерывности:

Временная компонента вектора тока равна плотности вероятности нахождения частицы в точке x в момент времени x⁰, а его пространственные компоненты являются компонентами трёхмерного вектора потока вероятности.

При данном импульсе р Д. у. имеет четыре линейно независимых решения: два решения с положит. энергией и два решения с отрицат. энергией . Они могут быть записаны (соответственно) в след. ковариантном виде

где спиноры и (р), и(-р)удовлетворяют ур-ниям

Для сопряжённых спиноров имеем:

Для каждой из пар спиноров в качестве независимых могут быть выбраны решения с определ. спиральностью (проекцией спина на направление импульса) ). В представлении Дирака - Паули (в к-ром диагональна) эти решения имеют вид:

Здесь - двухкомпонентный спинор, удовлетворяющий ур-нию

где -Паули матрицы ,а множитель N определяется нормировкой спинора . Используются след. нормировки (для каждого значения):

при этом.

Для т=0 решения свободного Д. у. являются собств. ф-циями матрицы :

В матричные элементы процессов со слабым взаимодействием спиноры , описывающие нейтрино, входят в виде . Если масса нейтрино равна нулю, то

т. с спиральность нейтрино равна . Частице с отрицат. энергией соответствует антинейтрино (см. ниже), его спиральность равна.

В нерелятнвистском случае (в системе СГС , где - скорость частицы), и спиноры с точностью до линейных по членов даются выражениями:

Отсюда следует, что для нерелятивистской частицы "нижние" ("верхние") компоненты решений Д. у. с положительной (отрицательной) энергией много меньше "верхних" ("нижних") компонент. Приведём след. полезные соотношения:

Для вычисления сечения процессов с участием релятивистских частиц со спином необходимо знать суммы: . Если спиноры нормированы условиями, то

Решения Д. у. с отрицат. полной энергией - несомненная трудность квантовой механики релятивистской частицы. Для её устранения Дирак предположил, что состоянием с мин. энергией (вакуумным состоянием) является состояние, в к-ром все уровни с отрицат. энергией заполнены. Если из этого заполненного "моря" состояний с отрицат. энергией вырвать одно состояние (образовать т. н. дырку Дирака), то полученное при этом состояние будет иметь положит. энергию (см. Дырок теория Дирака ).Масса частицы, описываемой этим состоянием, равна массе электрона, а её заряд противоположен заряду электрона. Такая частица - античастица по отношению к электрону - была открыта К. Андерсоном (С. Anderson) в 1932 и наз. позитроном.

Последоват. реализация идеи Дирака о существовании решений с отрицат. энергией требует по существу выхода за рамки одночастичного ур-ния для релятивистской частицы и осуществляется только в квантовой теории поля.

Как отмечалось, Д. у. инвариантно относительно преобразований Лоренца

где (- символ Кронекера). Если записать преобразование спинора в виде

где U - матрица, то из условия инвариантности Д. у. следует, что

Сопряжённый спинор преобразуется след. образом:

Для преобразований Лоренца

матрица U имеет вид

где (- скорость одной системы относительно другой). Для преобразования из системы покоя частицы в систему, где её импульс равен р, а энергия р₀, имеем:

При построении лагранжианов взаимодействия в квантовой теории поля широко используются трансформац. свойства величин , где - биспиноры Дирака (спинорные Дирака поля), а

- полная система 16 матриц Дирака. Из (14)-(16) следует, что -скаляр, - четырёхмерный вектор, - тензор второго ранга, - псевдовектор, - псевдоскаляр.

Волновое ур-ние для релятивистской частицы со спином в эл--магн. поле может быть получено из ур-ния для свободной частицы заменой

где е - электрич. заряд частицы, а - четырёхмерный потенциал эл--магн. поля ( - скалярный потенциал, А - векторный). T. о., Д. у. для электрона (мюона) в эл--магн. поле имеет вид:

Это ур-ние инвариантно относительно локальных калибровочных преобразований

где - произвольная вещественная ф-ция х. В нерелятивистском пределе в первом порядке по P для "верхнего" спинора из Д. у. (20) вытекает Паули уравнение .При этом для магн. момента электрона автоматически получается правильное значение (в СГС системе единиц). Если учитывать также члены второго порядка по , то в ур-нии для , вытекающем из Д. у. в центр. поле V(r) (r- расстояние до центра), возникает потенциал спин-орбитального взаимодействия:

Здесь - оператор орбитального момента. Д. у. в кулоновском поле точечного ядра с зарядом Ze, V=-Ze²/r может быть решено точно. Для уровней энергии электрона в атоме возникает при этом выражение

Квантовое число п принимает целые значения 1, 2, 3, . . ., а квантовое число полного момента j - полуцелые, такие что ( - постоянная тонкой структуры). Если , то с точностью до членов из (23) следует:

Квантовое число п соответствует, т. о., главному квантовому числу нерелятивистской теории. Уровни энергии в релятивистском случае классифицируются, как и в нерелятивистской теории, путём задания n,j и квантового числа орбитального момента l. В табл. приведены первые четыре уровня:

Разность уровней 2P_1/2 и 2P_3/2, (тонкое расщепление уровней) обусловлена спин-орбитальным взаимодействием (22). Уровни 2S_1/2 и 2P_1/2 , отличающиеся чётностью и обладающие одними и теми же значениями п и j, оказываются в теории Дирака вырожденными. Учёт эффектов квантовой электродинамики приводит к тому, что это вырождение снимается, при этом уровень 2S_1/2 лежит выше уровня 2P_1/2 . Этот т. н. лэмбовский сдвиг уровней измерен на опыте и находится в блестящем согласии с предсказаниями квантовой электродинамики.

Лит.: Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б., Квантовая электродинамика, 4 изд., M., 1981; Бьернен Д. Д., Дрелл С. Д., Релятивистская квантовая теория, пер. с англ., т. 1-2, M., 1978. С. M. Биленький.

   <<      Предметный указатель      >>