дирака матрицы

ДИРАКА МАТРИЦЫ - матрицы, действующие на спиновую переменную четырёхкомпонентного спинора (биспинора) Дирака . Д. м. входят в квантовое волновое ур-ние для релятивистской частицы со спином , а также в гамильтонианы взаимодействия полей, в случае если во взаимодействии участвуют частицы со спином (напр., в гамильтониан слабого взаимодействия). Д. м. (k=1, 2, 3) и представляют собой эрмитовы матрицы, удовлетворяющие соотношениям

(- Кронекера символ ).При вычислении сечений процессов с участием частиц со спином явный вид Д. м. не нужен, достаточно использовать соотношения (1). Однако при решении Дирака уравнения удобно пользоваться определ. представлением Д. м. Часто применяют представление, в к-ром матрица b диагональна (представление Дирака - Паули). В этом представлении матрицы и имеют вид

где - Паули матриц", а I - единичная 2*2 матрица. Форма ур-ния Дирака, записанного в ковариантном виде, зависит от выбора метрики. В метрике Паули [ - пространственная координата, x₀ - время; применяется система единиц, в к-рой =с=1] ур-ние Дирака для свободной частицы массы m имеет вид

(здесь и далее по повторяющимся индексам - в данном случае по - производится суммирование), где

эрмитовы матрицы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям

Важную роль в физике частиц играет матрица

удовлетворяющая соотношениям

(означает эрмитово сопряжение). В представлении Дирака - Паули матрица g₅ имеет вид

Путём перемножения матриц можно построить следующие 16 независимых матриц Дирака:

Любая матрица может быть разложена по полной системе матриц (9). Между Д. м. имеет место ряд соотношений, часто использующихся в приложениях, напр.:

Здесь - абсолютно антисимметричный (относительно перестановки любых двух индексов) тензор, .

Если метрика выбрана так, что скалярное произведение четырёхмерных векторов A и B равно:

[т. е. x=(х⁰, x), х⁰- время, ], где, , то ур-ние Дирака имеет вид

Матрицы связаны с матрицами a и b соотношениями

и удовлетворяют перестановочным соотношениям

Из (13) видно, что - эрмитова матрица, - антиэрмитовы матрицы.

Лит.: Паули В., Общие принципы волновой механики, пер. с нем., M.- Л., 1947; Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., M., 1984; Бьёркен Д. Д., Дрелл С. Д., Релятивистская квантовая теория, пер. с англ., т. 1, M., 1978.

С. M. Биленъкий.

   <<      Предметный указатель      >>