гильбертово пространство

ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО - комплексное векторное пространство ,являющееся бесконечномерным полным евклидовым пространством. Это означает, что Г. п. есть множество элементов, на к-ром, помимо операций векторного пространства (сложения и умножения на число), задана также комплекснозначная ф-ция от пары аргументов х, у из ,, обозначаемая (х, у)и удовлетворяющая след. условиям (аксиомам): 1) ; (х, x)=0 лишь при x=0; 2) (х, y+z)= (х,у)+ (x,z); 3) , (x,у)=(у,х)*; *означает комплексное сопряжение (иногда рассматривают вещественные Г. п., к-рые являются векторными пространствами над полем и удовлетворяют аксиоме 3 с ). Ф-ция (х, у)наз. скалярным или внутренним произведением. В силу аксиомы 1 на также определена неотрицат. ф-ция , к-рая обладает всеми свойствами нормы на векторном пространстве; по отношению к ней является нормированным и банаховым (т. е. полным нормированным) пространством.

Данное определение соответствует т. н. абстрактному Г. п.; выбирая в качестве элементов последовательности, ф-ции или операторы определённых типов, получают разл. классы конкретных Г. п. Примеры: 1) пространство l² - совокупность всех последовательностей , где х_п - комплексные числа, удовлетворяющие условию: . Умножение на число, сложение и скалярное произведение задаются ф-лами:; . Аналогично построено пространство состояний конечномерной квантовой системы в представлении вторичного квантования.

2) Пространство L² (а,b) - совокупность всех комплекснозначных ф-ций, интегрируемых с квадратом на промежутке [а, b] вещественной оси. Скалярное произведение ф-ций f, g из L² (а, b)задаётся ф-лой .

Обобщением на случай , является пространство .

3) Пространство -совокупность всех комплекснозначных ф-ций f, интегрируемых с квадратом на по нек-рой мере . Скалярное произведение задаётся ф-лой . Примеры 2 и 3 описывают собственные ф-ции одномерного ур-ния Шрёдингера, собственные ф-ции краевых задач в методе разделения переменных и т. д.

4) Пространство -совокупность всех аналитич. ф-ций в единичном круге D комплексной плоскости. Скалярное произведение задаётся ф-лой .

Понятие Г. п. возникло в нач. 20 в. в осн. благодаря работам Д. Гильберта.

Нередко (напр., при квантовании эл--магн. поля) приходится рассматривать пространства, к-рые не являются полными в смысле сходимости по норме и (или) допускают равенство (х, x)=0 для нек-рых Каждое такое пространство наз. предгильбертовым; существует стандартная процедура, позволяющая достроить его до обычного Г. п. Важный подкласс составляют сепарабельные Г. п., размерность к-рых (в смысле векторных пространств) равна мощности счётного множества. Данный подкласс весьма широк (в частности, все Г. п. в примерах 1-4 сепарабельны; все подпространства сепарабельного Г. п. сепарабельны) и является основным для физ. приложений: в большинстве физ. моделей число состояний счётно. Любые 2 сепарабельных Г. п. изоморфны между собой, что позволяет выбрать удобную для физ. интерпретации форму. (Изоморфизм Г. п. и определяется как взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные соотношения в и и скалярное произведение.) Как всякому топологич. векторному пространству Г. п. сопоставляется сопряжённое векторное пространство линейных непрерывных функционалов на ; важное отличит. свойство Г. п. составляет теорема Рисса, согласно к-рой изоморфно и для любого найдётся единств. элемент , такой, что f(y)=- (х, у)для всех .

Геометрия Г. п. является непосредств. обобщением геометрии конечномерных евклидовых пространств. Как и в любом евклидовом пространстве, в Г. п. имеют место 2 фундам. соотношения: неравенство Коши - Буняковского - Шварца итождество параллелограмма для любых х, (последнее свойство является необходимым и достаточным критерием, выделяющим евклидовы прост. ранства в классе нормированных пространств). Обширный спектр геом. свойств связан с отношением ортогональности: 2 вектора х, (или 2 множества M, ) наз. взаимно ортогональными, если (х, y)=0 [или соответственно для всех ]. Для каждого подпространства множество всех векторов из , ортогональных к M, образует подпространство , наз. ортогональным дополнением M и обладающее тем свойством, что ( обозначает прямую сумму подпространств векторного пространства, в случае Г. п. отличающуюся тем дополнит. свойством, что элементы этой суммы взаимно ортогональны). Размерность M равна коразмерности , . Каждый вектор можно однозначно представить в виде , где ; вектор z наз. проекцией х на M. На этом основано, напр., выделение физ. степеней свободы в калибровочных теориях.

Одним из гл. орудий анализа и конкретных расчётов в Г. п. служат ортонормированные базисы (ОБ). Набор , элементов Г. п. (А - произвольное, не обязательно счётное, множество индексов) наз. ортонормированной системой, если , где символ Кронекера равен 1 при и 0 при . Эта система наз. полной (или замкнутой), если любой вектор, ортогональный ко всем , , равен 0. Всякая полная ортонормированная система наз. ОБ в . Примеры ОБ: 1) система триго-нометрич. ф-ций в L² (0, 1); 2) система полиномов Лежандра P_n(х)(см. Ортогональные полиномы)в L² (-1, 1); 3) система полиномов Лагерра L_n (х)в ; 4) система полиномов Эрмита H_n(х)в Во всяком Г. п. существует ОБ, все ОБ данного Г. п. равномощны, и их мощность равна размерности ; в частности, является сепарабельным тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ОБ. Осн. свойство ОБ , : любой вектор обладает однозначным разложением в виде ; при этом

Последнее равенство наз. равенством Парсеваля, а также, с учётом его очевидной геом. интерпретации, теоремой Пифагора; числовые множители с_a наз. коэф. Фурье вектора х в ОБ . Простота и удобство ОБ сделали их общепринятыми в физ. приложениях, поэтому в физике предпочтительны сепарабельные Г. п., для к-рых существует стандартный метод построения ОБ из произвольной системы линейно независимых векторов U₁, U₂ ,. . ., имеющей плотную в линейную оболочку. Данный метод наз. процессом ортогонализации Грама - Шмидта и состоит в рекурсивном построении из векторов и_i с помощью вспомогат. системы , определяемой ф-лами:

векторами искомого ОБ тогда будут , причём для любого n= 1, 2,... линейные оболочки наборов (е₁, . . ., е_п)и (u₁, . . ., и_п)совпадают между собой. Указанный процесс служит обычным способом построения ортонормированных систем ф-ций; в частности, все ортогональные полиномы в примерах 2-4 получаются путём ортогонализации системы одночленов 1, х, х², ... в соответствующих Г. п.

Применения Г. п. В матем. и физ. приложениях возникают разл. классы пространств, являющихся обобщениями Г. п.: 1) пространства l^р и L^р, p1. Пространство l^р - совокупность всех числовых последовательностей , удовлетворяющих условию: . Это линейное нормированное пространство с нормой

-

совокупность всех комплекснозначных ф-ций, суммируемых с р-й степенью на промежутке [а, b], есть также линейное нормированное пространство с нормой (ф-ции, совпадающие между собой почти всюду по мере Лебега на [а, b], отождествляются). Осн. область применений этих пространств составляют ур-ния матем. физики. 2) Пространства с индефинитной метрикой, со скалярным произведением <х, у>, не удовлетворяющим, вообще говоря, аксиомам 1 и 4. В конечномерном случае такие пространства наз. псевдоевклидовыми, к их числу принадлежит, в частности. Минковского пространство-время без учёта кривизны. В бесконечномерном случае наиб. важный класс пространств с индефинитной метрикой образуют т. н. J-п ространства, или пространства Крейна. В них, наряду с индефинитным скалярным произведением <x,y>, действует также обычное скалярное произведение (х, у), по отношению к к-рому каждое такое пространство , является Г. п.; оба произведения связаны между собой посредством т. н. метрич. оператора, или оператора Грама J: для всех х, ; , где -проекционные операторы в , такие, что (I - единичный оператор). Пространства Крейна применяют в механике и в ряде моделей квантовой теории поля; они используются для строгой формулировки калибровочной квантовой теории поля. 3) Оснащённые Г. п. (ОГП) представляют собой расширения Г. п. , включающие не содержащиеся в элементы и получаемые с помощью выделения плотного линейного подмножества в Г. п. (любой элемент из является пределом последовательности элементов из ). Подмножествоможно наделить своей топологией, более сильной, чем топология , и определить сопряжённое топологич. пространство ; поскольку из следует, что, а (с точностью до изоморфизма), получается конструкция из 3 пространств - триплет , к-рый и носит назв. ОГП. Введение расширенного пространства - стандартный приём при рассмотрении неограниченных операторов и операторов с непрерывным спектром. Поскольку такие операторы типичны для физ. задач (напр., операторы координаты и импульса), то ОГП находят применение во мн. областях физики. Одна из таких областей - аксиоматич. квантовая теория поля, весь формализм к-рой можно развить исходя из ОГП , где S -пространство осн. ф-ций Шварца, а -сопряжённое к нему пространство обобщенных функций умеренного роста.

Сфера применений Г. п. в совр. физике почти необозрима. Г. п.- центральный матем. объект, лежащий в основе всего аппарата квантовой физики. Представление множества состояний физ. системы с помощью Г. п. есть фундам. элемент матем. структуры в самом широком спектре физ. теорий: квантовой механике, квантовой статистич. физике, классич. и квантовой теории поля; оно является возможным также и в классич. механике. Такой же универсальностью обладает и представление наблюдаемых физ. систем с помощью самосопряжённых операторов в Г. п. Наиб. тесная связь, достигающая почти полного сращивания между физ. и матем. исследованием, сложилась между аппаратом Г. п. и квантовой механикой. Наконец, широкие и разнообразные применения Г. п. находят при изучении ур-ний матем. физики, описывающих разл. физ. процессы.

Лит.: Ахиезер H. И., Глазман И. M., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., M., 1966: Морен К., Методы гильбертова пространства, пер. с польск., M., 1965; Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, пер. с англ., M., 1970; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ , т. 1, M., 1982. С. С. Хоружий.

   <<      Предметный указатель      >>