автомодельность

АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ - особая симметрия физ. системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия др. динамич. переменных. А. приводит к эфф. сокращению числа независимых переменных. Напр., если состояние системы характеризуется ф-цией и(х, t), где х - координата, t - время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов x'-kx, t'=lt и преобразования подобия таково:

,

где - числа. Выбор , где m - подобия критерий (параметр), придаёт первонач. ф-ции автомодельный вид

.

Т. о., ф-ция и при постоянном т зависит только от комбинации . А. возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются 3 способа:

1. Размерностей анализ .Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и ф-ций, зависящих от координат х, у, z и времени t. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид , где b - параметр, имеющий размерность , Х₀, Т₀ - характерные длина и промежуток времени, L, Т - единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации ,, . В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает ур-ние с частными производными в обыкновенное дифференц. ур-ние.

2. Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных или, в более общем виде, , . Ур-ния, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений и не для любых ф-ций . Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собств. значения.

3. Исследование групповых свойств ур-ний. Рассмотрим систему дифференц. ур-ний с частными производными 1-го порядка =0, где -независимые переменные, -искомые ф-ции, Всевозможные замены переменных , допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются её однопараметрич. подгруппой растяжений. В нек-рых случаях найти такие замены позволяет след. процедура.

В пространстве переменных группа Ли задаётся своими генераторами, имеющими общий вид X=, где-нек-рые ф-ции переменных х, и; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных группа Ли задаётся генераторами , где

. Система ур-ний определяет гиперповерхность в пространстве переменных , к-рая является инвариантом группы при условии , когда ; эти условия служат для определения ф-ций и.

Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами ур-ния. Напр., для двух независимых переменных x, t и одной искомой ф-ции и оператор растяжений имеет вид - числа. Набор первых интегралов ур-ния таков: , поэтому автомодельное решение ур-ний, допускающих группу растяжений, будет иметь вид, -новая искомая ф-ция.

Рассмотрим, напр., Кортевега - де Фриса уравнение , где -пост. параметр; оно инвариантно относительно преобразования , . Генератор -оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид

Подставляя это решение в исходное ур-ние, получаем обыкновенное дифференц. ур-ние для ф-ции:

Однопараметрич. группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на др. одно-параметрич. абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, т. е. решениями вида , для к-рых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена х=, , переводит волновое решение f в автомодельное:

А., отражающая внутр. симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении разл. физ. задач, особенно в механике сплошных сред (см. Автомодельное течение).

Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных ур-ние ренормгруппы оказывается тождественным одномерному ур-нию переноса излучения. В физике элементарных частиц А. выражается в том, что сечения нек-рых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.

Лит.: Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 9 изд., М., 1981; Боголюбов Н. Н., IIIирков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Биркгоф Г., Гидродинамика, пер. с англ., М., 1963; Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978, гл. 1; Баренблатт Г. И., Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, 2 изд., Л., 1982.

В. Е. Рокотян.

   <<      Предметный указатель      >>